067(1)

je⁴'—16

* X™ x^3jr5x² — 6x — 16

= lim .

4,rⁱ

3at-(- IO.tc—6 m

32

26

16

13

x^rn — a^m

2)    lim —— - = lim

*-« a;"-a"    «*'

e^2x - 1    2e^2x    2

3) lim    — lim-- ==■ *— —

.n-1

a

*—O

sin a:

cos ac

1

.. ..    1-cos aac    asm aa:    a² cos ax

4) lim-;— = lim ,—:—t— = lim -r*-= li

’ _{X r}Q 1 — cos bx    b sin bx    b² cos bx    ^b

Tu regułę de 1’Hospitala zastosowano dwukrotnie. ł* .. kł* .. k²e^kx

5) lim — = lim —^ = lim

kⁿł^x

= lim

■ = + oo

M-2

n(n— 1)ac

Tu regułę de 1’flospitala zastosowano n razy.

_    tg ac .. sec²AC    secA:

« sec AC    sec AC tg AC    tgAC

*-*T

Stosowanie reguły de 1’Hospitała nie prowadzi do celu. Granicę tę można łatwo wyznaczyć bez stosowania tej reguły, za pomocą elementarnego przekształcenia

tg cc .. sin ac cos ac ..    .    .

lim —— = lim-= hm sm ac = 1

n sec AC    cos X

^X>2

AC—sin AC    1—COSAC

7) hm ——-1— = lim ,--

*-«, x+sinx    1+COSAC

Również tutaj stosowanie reguły de 1’Hospitala nie prowadzi do wyniku, ponieważ stosunek pochodnych j= tg² -y nie ma granicy, gdy x -* oo. Szukaną granicę można wyznaczyć w sposób elementarny

., gdyż | sin ac | < 1

x-y -f co

nx

ni

sec .v

*—oo ac-j-sin ac

AC —sm AC

lim—;—_:— = hm

1
H	sin*

Nie przeczy to bynajmniej twierdzeniu de 1’Hospitala, bowiem twierdzenie to mówi tylko o tym, że gdy istnieje granica ilorazu pochodnych, to do tej samej granicy dąży też iloraz funkcyj, ale nie na odwrót.

Wyznaczyć granice:

312. lim

x— 2

cos 3* cos x

j?—4jt±4jc *³ — 12x-j-16

313. lim

1t

314.

lim

X->+00

X

In(l -f-jc)

— 316. lim

JI

tg 5x tg 3*

315. lim -

x~»0

317. lim

e*+e-^x-2 1 — cos 2x

X->— co X

_ 318.

In sin x

lim -j-r-j-

*-,+0 m sm o.v

319. lim

*-o

arc tg 2x arc sin 5*

b. Przypadki wyznaczania granicy:

3)    0 • oo — kiedy funkcja rozważana jest iloczynem wielkości nieskończenie małej przez wielkość nieskończenie wielką;

4)    oo — oo kiedy funkcja jest różnicą dwóch dodatnich wielkości nieskończenie wielkich.

Przez przekształcenie funkcji w postać ułamka te przypadki poszukiwania granicy funkcji sprowadza się do przypadku-^- lub

320. Wyznaczyć granice:

1) lim *ctg2* 2) limy/* In* 3) lim (tg — secę>)

x-+0

HO

4)lim(j^----5) lim ---

,r-.i \ In *    .v— 1 /    /-*o \ sin t 11

Rozwiązanie. Po stwierdzeniu, że zachodzi przypadek O ■ oo lub co — oo, przekształcamy funkcję w taki sposób, aby nadać jej postać ułamka, którego licznik i mianownik dążą jednocześnie albo do zera, albo do nieskończoności, a następnie stosujemy regułę de 1’Hospitala

1) lim * ctg 2x - łim —    - = lim

x-.o ⁶    tg 2x

1

2 sec² 2x

_1_

2

2) lim ]/ x\nx — lim

x-*- •}- O

ln x

= lim-r

—3 lim y/~x = O

137

3