077(1)

Wyraziwszy w ten sposób rozważaną powierzchnię całkowitą walca S za pomocą jednej zmierinej r, znajdziemy teraz najmniejszą z jej wartości, gdy r zmienia się w przedziale (0, +co).

(V \    2nr* — V    _r

2nr—    = 2 —^—; S’ — 0

tylko w jednym punkcie r =    , który należy do rozważanego przedzia

łu. Jest to punkt krytyczny, gdyż są w nim spełnione wszystkie niezbędne do tego warunki. Innych punktów krytycznych w przedziale (0, -f co) nie ma, ponieważ pochodna S' w całym tym przedziale istnieje.

Zbadajmy, jaki znak ma druga pochodna w znalezionym punkcie krytycznym    _ skąd wynika, że punkt kry tyczny r — l/ ^ jest punktem minimum funkcji S.

Funkcja S(r) jest ciągła w przedziale (0, -j -oo), zatem zgodnie z własnością 1 funkcji ciągłych jedyne minimum funkcji S w przedziale (0, +co) pokrywa się z najmniejszą z wartości funkcji w tym przedziale.

Gdy r

^y-

X 2n

otrzymamy h =    = 2

i

2 r

Zatem cylindryczna, zamknięta cysterna, mająca zadaną objętość, będzie miała najmniejszą powierzchnię całkowitą wtedy, gdy jej przekrój osiowy będzie kwadratem.

364. Z kawałka blachy, której kształt i wymiary (w dcm) podane są na rys. 63, wyciąć prostokąt o największym polu powierzchni.

Rozwiązanie. Oznaczmy boki wycinanego prostokąta przez x i y. Wtedy jego pole 5 — xy. Biorąc pod uwagę podobieństwo trójkątów BDC i AEC, wyrazimy y za pomocą x

BD=U-x, DC — y—6, AE= 8, £C = 4

Podstawiając te wartości do proporcji    , otrzymamy _y_₆ = z,

23—x

skąd y =    _?    . Podstawiając teraz wyznaczoną wartość y do wyrażenia

na pole prostokąta, mamy

S =    23*-^)

przy czym w myśl warunków zadania * zmienia się w przedziale [3,11].

Z kolei szukamy największej wartości funkcji S(x) w przytoczonym przedziale: S' = -^ (23—2*); 5' = 0w punkcie x = y. Punkt ten leży

jednak poza rozważanym odcinkiem, a ponieważ S' istnieje wszędzie, dlatego w przedziale [3, 11] nie ma ani jednego punktu krytycznego. Gdy * przebiega wartości od 3 do 11 pochodna 5' > 0, a funkcja S stale rośnie i największą ze swych wartości osiąga na prawym końcu przedziału w punkcie *=11.

Zatem prostokąt wycięty z danego kawałka blachy będzie miał największe pole wtedy, gdy punkt B pokryje się z punktem C; S„_w = 5(11) = 66 dcm².

365. Wybrać takie miejsce na budowę mostu przez rzekę, aby długość drogi łączącej dwa obiekty leżące po różnych stronach rzeki była jak najmniejsza.

Rozwiązanie. Sporządzamy schematyczny rysunek położenia obiektów A,B, o których mówi się w warunkach zadania (rys. 64). Odległości a,b,cihw myśl warunków zadania są stałe. Jeżeli most będzie zbudowany w miejscu zaznaczonym na rysunku, to długość drogi łączącej obiekty A i B wyniesie

/ = AC+h+DB

Obierając za zmienną niezależną * odległość A_{C otrzymamy

AC = | /a²~+x\    DB = j/ó²+(c-*T²

i

l = y a^2jrx²-\-h-\- \'b^2j\-{x—c)^z przy czym oczywiście * zmienia się w przedziale [0, c].

157