098(1)

W najprostszych przypadkach, gdy całka dana stanowi jeden ze wzorów rachunku całkowego, całkowanie sprowadza się do prostego zastosowania tego wzoru.

We wszystkich pozostałych przypadkach zadanie całkowania polega na tym, aby przez odpowiednie przekształcenia sprowadzić całkę daną do jednego lub kilku wzorów rachunku całkowego (jeśli jest to w ogóle możliwe).

437. Obliczyć całki i- sprawdzić wynik przez zróżniczkowanie:

■'/? *>/«»

4)/_Ky+,>    5)/^

Rozwiązanie: 1) Ze wzoru 1, dla x = u, a = —3, mamy

--S+^C-^C-1F

Sprawdzenie. Tworzymy różniczkę funkcji otrzymanej i stwierdzamy, że jest ona równa wyrażeniu pod całką

/    1 \ l    dx

^d\^C--₂x> j ⁼ —2 ^{X~^{lydX = X}~^{3dX =}

^(<X—- = arcsin-^ + C; ze wzoru 10, gdy u — x, a = 1/ 2. 2-x-    \2

2) | -7

J l

Sprawdzenie, d|arcsin—^:X—+C | = (

\ V2 )    \

x

3) f 3‘5'dt = J 15'dt = ^I5‘

dx =

arcsin^=- dx = )'2

dx

Sprawdzę

nie.

ln 15

15^f lnl5

1 2 —

C; ze wzoru 3, gdy u = t, a = 15.

C =

ln 15

■ 15'ln 15dt = 15 'dt.

4) f yy+ ldy = f (y+ i)i 1) = \ (y +1) * + C

2    _______ i

= y I (j+1)³ -f- C; ze wzoru 1, gdy « = y+\, a = —

(bowiem d(yĄ-1) = dy).

Sprawdzę

I OH-l)³ fC

2    3    ¹

y • y (j+1)² dy=--

• i ²

nie. ^ ^

]/y+ 1 dy.

f ^dx --- ^1 1	& 1 3	]/3
1 2x^2 — 6 2 J	^1 **-3 2 2]/3	x+]/3 1

-j- C; skorzys

taliśmy z własności III i ze wzoru 9, dla a = x,a = ) 3.

Sprawdzenie, dl—¹—- ln -^C—_|_p\_    ¹ (ln i 3 —

141 3    , x+V3 )    4]/3    ‘ ^{F 1} J

— ln x-j~i^/J)'dx = — ^(--*---*    ) dx —

4>^/3\x-)3    x+\3 )

= 2( ..2 _3j; przy obliczaniu pochodnych (ln jx—] 3 ])' i (ln |x+}/3f|'

stosowaliśmy wzór (In |wj)'

438. Obliczyć całki: i' C dx ^J J V5x

3) J" cos3cpdy 4) J e ² dx 5) j sin(ax-j- b)dx 6) J --y -

»fm=wf

2)

dt

] 3—4t²

dx

Rozwiązanie 3    3

__L    1    3 .ł

X ³ dx = -37=- • -y-*³ -f

j/o ²

+ C = yy - X² + C; korzystaliśmy z własności III i ze wzoru 1, w którym podstawiamy u = x, a = —y.

2) f *— = 1 f

J j/3-4/²    2 J

dt

V-

1    ¹    ^ r

— - - arcsin—₇--1-C    =

2    /    3

1    2r    ■

arcsin -} C; korzystaliśmy z własności III i ze wzoru 10, w któ-

²    ]/ 3

rym podstawiamy u — t,a =

I 3