098

98 Modelowanie dynamiki obiektów sterowania

98 Modelowanie dynamiki obiektów sterowania

/>0

(11.20)    /?₂(/) = -^-exp((a: + j(o)t),

Warunek stabilności układu można zapisać następująco:

00    3?    OC-    rti

(11-21)    j*|/z(r)|Jr = ^\hfr)+h₁{T)\dz < j*|/7₁(r)|dr + J|/;₂(r)|di

j exp(«r) exp(- jco r)

dr = j exp(arVr -

przy czym:

‘Ą    35;

(11.22)    \\hfr)\dr=\

(11.23) \\lh(T)\dr

o

■ —exp(& r) exp( / on)

1 ^Xf    1

dr = — J exp(ar)dr

2 a

Zwróćmy uwagę, że o stabilności układu decyduje tylko wartość parametru a: jeśli jest ujemna, to układ jest stabilny. Spostrzeżenie to możemy sformułować inaczej: jeśli pierwiastki: a + jco oraz a-ja mianownika transmitancji leżą w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej, to układ jest stabilny.

Wielomian charakterystyczny, warunek konieczny i wystarczający stabilności

Rozpatrywać będziemy układy o transmitancji w postaci funkcji wymiernej:

(11.24)    tf(s)=4r~

A(s)

przy czym stopień wielomianu B(s) jest mniejszy od stopnia wielomianu .4(5) oraz wielomiany A(s) i B(s) nie mają wspólnych pierwiastków. Wielomian A(s) występujący w mianowniku transmitancji jest nazywany wielomianem

charakterystycznym. Poczynione w prześledzonych przykładach obserwacje wskazują, że położenie pierwiastków wielomianu charakterystycznego miało istotne znaczenie dla stabilności układu:

1) jeśli pierwiastki były rzeczywiste, to badane układy były stabilne wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie pierwiastki były ujemne,