100 48

104

Przekształćmy teraz równanie (3.42b). Wykorzystując jeszcze raz związek (3.17) możemy zapisać:

JJ <^OM$₀+JJł e_UkXjP_kdV₀ - 0 .

S*    ro

Trzy pierwsze czynniki w pierwszej całce wzięto w nawias w celu łatwiejszego skojarzę* nia z postacią funkcji podcałkowej, występującej po lewej stronie twierdzenia Grecna--Gaussa-Ostrogradzkicgo. Zmieniając całkę powierzchniową na objętościową otrzymamy:

JJJ*^-(«jA^ari^<r*r)^dJo + JjJo = 0 •

r.    Ko

Obliczając pochodną iloczynu występującego w pierwszej całce (pochodna Xj równa się zeru dla j yt r, a 1 dla j ■= r) otrzymujemy:

JJJtfytOf/PfcdKo = 0.

Zapisanie obu całek pod jedną oraz wyciągnięcie z dwóch ostatnich składników czynnika przed nawias prowadzi do równości:

^ekk°kr+^elfll^XJ

Hi

0, i = 1,2,3.

(3.44)

Ponieważ równości (3.43) i (3.44) muszą zachodzić dla dowolnego elementu objętościowego F₀, przeto funkcje podcałkowe w obu całkach muszą być tożsamościowo równe zeru, a zatem (w każdym punkcie wewnątrz bryły V) zachodzą równości:

(3.45)

(3.4Ó)

f^+P.-O, /,/= 1,2,3

dXj

Równanie to wobec (3.4S) przyjmuje postać

/, Ar, r - 1,2,3.

Rozpisując równania (3.43) dla i,/= 1,2,3 otrzymujemy:

a^j,    o,

dx_t    dx_t    &(*

%H₊pi+p_+f,_₀,

dxt 0X2 wj

dott

?x.

^r Cx₂ dx<

+Ps

równania zai (3.46) po rozpisaniu mają postać

■ 0»    *i»—“ 0,    Ojj—Ojj ■» 0.

Otrzymane powyżej rezultaty świadczą o tym, że elementy macierzy napf^rń nie rnojpą być dowolnymi funkcjami, ale w każdym punkcie bryły muszą spełniać równania (34^, które noszą nazwę równań Narlera lub równań równowagi. Funkcje <*;/■**) muszą równató spełniać równania (3.46), które dowodzą twierdzenia o równości naprężeń stycznych 4o siebie prostopadłych i leżących w płaszczyznach wzajemnie prostopadłych.

Związki (3.4S) są układem trzech równań różniczkowych o pochodnych cząstkowych), które wykorzystamy przy znajdywaniu macierzy naprężeń. Przez analogię możemy powiedzieć, iż zadanie jest statycznie niewyznaczalne, albowiem mamy tylko trzy równania równowagi, a biorąc pod uwagę równości (3.46) sześć szukanych funkcji. Zanim jednak zbudujemy pozostałe równania potrzebne do wyznaczenia elementów macierzy naprężeń zwróćmy jeszcze raz uwagę na to, że równania Naviera są równaniami różniczkowymi, ą zatem nie jedna macierz (a,j) będzie całką tego układu, lecz pewna rodzina macierzy.

Dochodząc do równań (3.45) wycięliśmy element objętościowy z wnętrza bryły, którego powierzchnia Ą' nie obejmowała żadnego punktu powierzchni bryły, w przeciwnym przypadku element V_Q obciążony byłby również siłami zewnętrznymi, powierzchniowymi. W oczywisty sposób narzuca się więc konieczność rozważenia elementu objętościowego, który zawierałby część powierzchni zewnętrznej bryły. Rozważenie takiego *t*Trwnt^ powinno doprowadzić do zależności między naprężeniami w punktach na powierzchni bryły, a gęstością obciążenia zewnętrznego. Zależności takie stanowić będą warunki brzegowe do układu równań (3.4S).

2.2. Statyczne warunki brzegowe

Z -rozważanej na rys. 3.15 bryły wytnijmy element objętościowy, zawierający część powierzchni zewnętrznej S. Niech elementem tym będzie czworościan, którego krawędzie wzajemnie prostopadłe będą równoległe do osi układu (X|), w którym określona jest bryła. Ścianka nachylona niech aproksymuje część powierzchni zewnętrznej AS (rys. 3.16). Na ścianki czworościanu równoległe do płaszczyzn układu (xj) działają siły wewnętrzne, natomiast na ściankę ukośną — siły zewnętrzne, powierzchniowe. Jedne i drugie przedstawiono na rys. 3.16b przez współrzędne ich gęstości 3y i zakładamy przy tym, że w paktach A_t, A₂, A₃ i A_ę gęstości te przyjmują wartości irednie ze wszystkich panujących na danej ściance. Zgodnie z twierdzeniem o równoważności układów sił zewnętrznych i wewnętrznych, układ sił działających na czworościan jest równoważny układowi n rnwt — Postępując analogicznie jak w punkcie 1.6 tego rozdziału przyrównamy współrzędne sumy i momentu do zera, otrzymując podobny rezultat jak (3.13), mianowicie

- *u**J *

Przechodząc do granicy tak, że punkty A, C i D zmierzają do B (czworościan degeneruje się do punktu B leżącego na powierzchni) otrzymamy

(3.47)

?*i S