106(1)

Z kolei przenosząc całkę I ze strony prawej na lewą i obliczając pozostałą całkę, za pomocą wzoru 11, otrzymamy

2i=t\ 7+b+b f -₇4=-J 1 i²+b

I = f \/t²+bdt = y \^/t¹ + b + y ln /+    + C (A)

B) Niech u = }/a²—z², dv = c/r. Wtedy du —^-=^7 dt, ® = / i po scał-kowaniu przez części otrzymamy .

/ = 1 | a²—Z² <7/ = Z1 a²—t² — f ... ^t — dt

J    J Va²-1²

Ostatnią całkę piszemy jako sumę dwóch całek, dodając i odejmując stałą a² w liczniku funkcji podcałkowej. Mamy

I =t) a²—t²-I-\-a² f —7. ..

^ł    J ] a²-/²

skąd

2/ = Z]/a²—Z²+a² f ^ .

/ = I l "a²—t²dt =    a²~t² + — arcsin — -fC    (B)

*•'    ^    A    Cl

1)    Korzystając ze wzoru (A), dla Z = ó = —3, otrzymamy

| ) X²—3 dx — yl/^-3 —y ln x+ l X²—3 | -fC

2)    Trójmian pod znakiem pierwiastka sprowadzamy do postaci kanonicznej: X² i 2.e-|-6 = (x+l)²+5, a następnie stosujemy wzór (A), dla Z = x+l i b = 5. Znajdujemy

J }/x²+2x+6 dx = J }/(x+l)²+5 d(x+T) =

=    2 V C*+l)^z~f5-j- '2 ln [x-rl + ] (^-t-l)²+5] + C

3)    Sprowadzając trójmian pod znakiem pierwiastka do postaci kanonicznej 3-f4„v—X² = — (X²—4*—3) = — [(x—2)²—7] — l—(x—2)² i stosując

wzór (B), dla t = x 2, a² = 7, otrzymamy

I | 3 ; 4x jc² dx — | ( 1 — (x — 2)² d(x ■ 2) =

x—2

J 7 — (x—2)²-f — arcsin

.V—2

ff

502,

504*

506.

508.

r dx	499. f	dx
J x^z—x—6		x^2+4x-f29
f dx	501. f	(4x—3)dx
J 4x—l—4x^z		x^2+3x-|-4
j' (3x+4)dx J x^2-j-5x	503.	18x^2 +13x , 1 . 6x-«e *
. r x^i-2x^2+4 ,	505. f	dx
J x^2-\-2x — 3		] 2+x-x^2
r dx	507. j*	(x+3 )dx
J l xx—2x		y^/l—4x^2
r (x—3) dx	509*. 1	xdx
J |/ x^2+6.v		] 1—2x—3x^2
| f x^2-j-4xdx	511. 1	1 1--2 x—x^1dx

Obliczyć całki: 498,

§ 6. Całkowanie funkcji trygonometrycznych

Często spotykane całki wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne o postaci:

gdzie min — liczby naturalne

l.    I siaⁿxdx, I cos" xdx II. J sin"xcosⁿxdx

m.    J tgⁿ xdx, Jctgⁿxdx IV. J sino.rcosbxdx, j sinaxs’mbxdx, | cosaxcosbxdx

można sprowadzać do podstawowych wzorów całkowania, a tym samym obliczać na podstawie następujących reguł:

215