10 (60)

211

Odwzorowania proste

Stosując sukcesywnie tę równość kolejno przy m =|_fł.., n— 1, otrzymamy w pewnym otoczeniu 0

F =    = 5^2oGj —    = ... = B₁...B„- ₁F„oG„_₁o...oG₁.

Na mocy (17) F„ jest odwzorowaniem prostym. To kończy dowód.

Rozkłady jedynki

10.8. TWIERDZENIE. Niech K będzie podzbiorem zwartym R", a {V„} — pokryciem K zbiorami otwartymi. Istnieją wtedy funkcje ęf|ą.,    należące do #(R"), takie, że

a)    0 < ij/i < 1 dla 1 < i ^ s;

b)    każda z funkcji d§j ma nośnik zawarty w jednym z V„;. y

c)    t^i(x)+...+ t/'_s(x) = 1 dla dowolnego x e K.

W związku z c) układ {ip_t) jest zwany rozkładem jedynki. Własność b) jest czasami wyrażana powiedzeniem, że układ jest wpisany w pokrycie {V„}.

WNIOSEK. Jeżeli fe #(R") i nośnik f zawarty jest w K, to

(25)    /= tłJ

f=i

i każda z Junkcji ip,f ma nośnik zawarty w którymś z V_t.

Istotą (25) jest, że formuła ta pozwala otrzymać / jako sumę funkcji ciągłych ipj o „małych” nośnikach.

Dowód. Przyporządkujmy każdemu \ e K indeks a(x) tak, aby x e F_I(X). Istnieją wtedy kule otwarte B(x) i W[x) o środkach w x spełniające

(26)    B(x) I m*) jg WW H K_m.

Ponieważ K jest zbiorem zwartym, więc istnieją punkty Xj,..., x_s należące do K takie, że

(27)    K <= B(x,)u...uB(Xj).

Z (26) wynika, że istnieją funkcje <p_lt..., <p_x e '<?(#"), takie, że 95,(x) g§ 1 na B(x,), ?,(x) = 0 poza IT(x_l) oraz 0 < 9?,(x) 1| 1 na Rⁿ. Określmy *p_y = <p_x oraz

(28)    §§*f | (l-ę-J.-fl^^^+i d * | ń <

Spełnienie warunków ą) i b) jest wtedy jasne. Rów ność

(29)    1//, + ...+^ = 1-(1-_yi)...(l-

jest trywialna przy i = 1. Jeżeli zachodzi oną dla pewnego i < s, to dodając (28) i (29) otrzymamy (29) 2 i 4-1 w miejscu i. Wynika stąd, że

(30)    t«A.(x)= l-ri(l-r,(x)) (x 6 R").

i = 1    i =» 1

Jeżeli x e K, to x e B(\j) dla pewnego i, a więc 7 _;(x) - 1 i iloczyn w (30) jest równy 0. Dowodzi to c).

14*