10 (69)

10 (69)



220


10. Całkowanie form zewnętrznych

10.19.    Przykład. Niech E będzie podzbiorem otwartym Rn,f e #'(£), i niech y będzie krzywą klasy w E, określoną na <0,1). Z (59) i (35)

(61)    Jd/=li(Df/)(y(t))y;(t)dt.

y    O i=l

Na podstawie reguły różniczkowania funkcji złożonej ostatnie wyrażenie podcałkowe jest równe (/oy)'(f). Zatem

(62)    J# = /(y(i))-/(y(0)),

V

i widzimy stąd, że \df ma taką samą wartość dla wszystkich krzywych y mających ten sam y ■

punkt początkowy oraz końcowy, podobnie jak w przykładzie 10.12a).

Porównanie z przykładem 10.12b) pokazuje więc, że 1-forma xdy nie jest pochodną żadnej 0-formy/ Można to również wywnioskować z części b) następnego twierdzenia, gdyż

d(xdy) = dxAdy # 0.

10.20.    TWIERDZENIE, a) Jeśli (O i X są odpowiednio k-formą i m-formą klasy W na E, to

(63)    d(a a /) = (da) a A+(— ifa a dX. bj Jeśli co jest klasy f€" na E, to d2(o = Ona E.

Oczywiście d2co oznacza tu d(dco).

Dowód. Dzięki (57), (60) dowód części a) redukuje się do wykazania, że (63) zachodzi w szczególnym przypadku

(64)    co = fdx„ X = gdxj,

gdzie/, g e (&'.(E),dxl jest bazową /t-formą, a dxj jest bazową m-formą. (Jeżeli k, mlub obydwie te liczby są równe 0, to opuszczamy po prostu dx, lub dxj w (64); dowód który następuje nie zmienia się w tej sytuacji). Wtedy co a X = fgdx, a dxj.

Załóżmy, że I oraz J nie posiadają wspólnych elementów. (W przeciwnym razie każdy z trzech wyrazów w (63) jest równy 0). Wtedy, stosując (53), otrzymamy

d((o a X) = d(f gdx, a dXj) = (- \yd{fgdxV Ą).

Z (59) d(fg) = fdg+gdf. Zatem z (60) otrzymamy

d(co a X) = (- lYifdg+gdf) a dxvn = (gdf+fdg) a dx, A dxr

Ponieważ dg jest 1-formą, a dxj jest k-formą, więc z (42) mamy dg a dxt (— 1 )kdx, a dg. Zatem

d(co a X) - (df A dxj) a (jgdxj)+(— l)k(fdx,) a (dg a dx j) = (da) a A+ (- l)fcco a dX, co dowodzi a).


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
10 (71) 222 10. Całkowanie form zewnętrznych Z reguły różniczkowania funkcji złożonej wynika, że (69
10 (57) .208 10. Całkowanie form zewnętrznych Tutaj /‘jest „kostką jednostkową”, zdefiniowaną
10 (59) 210 10. Całkowanie form zewnętrznych gdzie każde z odwzorowań B, jest albo identycznością, a
10 (63) 214 10. Całkowanie form zewnęttznych w dalszym ciągu milcząco zakładaćife jest ono spelnione
10 (65) 216 10. Całkowanie form zewnętrznych Jako specjalny przypadek powyższej sytuacji otrzymujemy
10 (67) 218 10. Całkowanie form zewnętrznych a dla dowolnego rosnącego k indeksu / # /jakobian jest
10 (73) 224 10. Całkowanie form zewnętrznych Dowód. Niech D będzie zbiorem parametrów dla $(a więc t
10 (75) 226 10. Całkowanie form zewnętrznych gdzie B jest odwzorowaniem liniowym przestrzeni Rk w pr
img108 10?:Ekstrema warunkowe Niech f będzie funkcję rzeczywisty n zmiennych rzeczywistych x.,...,xn
10 (33) 184 9. Funkcje wielu zmiennych 9.19. TWIERDZENIE. Niech f będzie funkcją różniczkowalną i ok
10 (55) Rozdział 10Całkowanie form zewnętrznych Całkowanie może być rozpatrywane na wielu poziomach.
10 (61) 212 10. Całkowanie fonii zewnętrznychZamiana zmiennych Możemy już obecnie opisać efekt zamia
Obraz (2103) 2012-10-19 Jednym z zadań ściany zewnętrznej jest ochrona budynku przed stratami

więcej podobnych podstron