114(1)

542. /

§ 9. Całkowanie niektórych funkcji przestępnych (niealgebraicznych)

Do całek funkcji wymiernych sprowadzają się następujące całki (R — funkcja wymierna):

I.    /i?(sinx, cos x)dx— przez podstawienie z = tg ~ ; wtedy sinx =

= r^»cosx = _TT? oraz dx - ^

dx =

544*

546*.

548.

/

^,/T¥<* xr	543.	f x^2Y 4—X^2 dx
dx x]/?—9	545*.	fVa+^>‘</x
dt	547.	f x^2dx
t y i —r^3		J >/x^2+2x+3
rfr	549*.	r x^2dx
^2*+2		J \ 2ax-x^2

II.    fR(tgx)dx — przez podstawienie tgx = z; wtedy x — arctgz, dz

1 + 2’

III. /K(e^x)dx — przez podstawienie e^x = z; wtedy x = lnz, dx = 550. Obliczyć całki:

2) f - ^dx-

J 5+4 cos ax

1)

J 2 sin z:—cos x

f tgxdx 1-c

-ctg²x Rozwiązanie

e^2x+l

1) Podstawmy tg-

₂ — z i wyraźmy sin x, cos x

i za pomocą z, korzystając z podanych wzorów, odpowiadających przyjętemu podstawieniu; otrzymamy

dx

fi

1

— -7=-ln

Ys

_ r	2<fe „	r </(*+2)
-cośx J z^2+4z—1		J (z+2)^2—5
z+2-^5	i n ^ i~	2-j/5'+tg|-
z+2+^5	^5	2+V5+tg|-

GX    1 —

2) Podstawiając, zgodnie z regułą I, tg -y = z mamy cos ax — -ją*

,    2 dz

a(l+z²)

dx =    — oraz

f

dx

2 f dz 2    z _

5-)-4cosax a J ^+9 3a ^3rC ® 3 '

2    /I ajc\ , _

= IZ ^3,0,8 (t^,8t)^+C

3) W myśl reguły II, podstawiamy tgx = z i otrzymujemy f tg xdx _ C z³dz _ 1 I' d(z^Ą— 1)

J 1—ctg²* J z⁴—1 ^— 4 J z⁴—1

¹ _]n|₂⁴_I|₊C=4^ln!^tg^4x-¹l + ^C

₄ '“i" *t ■ -    4

4) Stosujemy podstawienie e^x — z, skąd dx = —“ ₎ znajdujemy

Z

f e^ixdx (' z^}dz f z⁷dz f j ]    \ _t

J 7^+T - J Jz²+l)z ~ J z²+1 ~ J    ⁼

t

= I dz— f    — z—arctgz4-Ce^x—arctge*4-C

Obliczyć całki: ♦
551.	f cosxdx	552.	r dx
	J 14-cos.*		J sinkx
553.	r dx	554.	r dx
	J sin^3*		J 4cos* ! 3sin*
555.	J tg^53.v dx	556.	r dx ) 14-tg*
557.	r e^2t—2e' f-i+ź*	558.	fO
559*.	fl+tg*	560*.	f e^2x dx
	J sin2x		1 (2+e*+e~^x)^2