117 2

232 XI. Szeregi potęgowe

Jest to wniosek z kryterium d Alemberta zbieżności szeregów.

(11.1.4)    Jeżeli dla danego szeregu potęgowego (11.1.2) istnieje

lim Vjn^j = s#0,

n~¹ cc

to promień zbieżności jest R=\/s. Jeżeli zaś s = 0, to R= + oo, a jeżeli s = +oo, to q Jest to wniosek z kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregów.

Będziemy też rozpatrywali ogólniejszą postać szeregu potęgowego:

00

(11.1.5)    X a„(x-b)ⁿ = a₀+a_l(x-b)+a_l(x-b)² + ...+a_n(x-b)" + ...,

n = 0

który jest zbieżny dla \x-b\<R, tj. dla x spełniających nierówność b-R<_x<b+g Gdy 6 = 0, otrzymujemy postać (11.1.2) szeregu potęgowego.

(11.1.6)    Twierdzenie o różniczkowaniu. Jeżeli szereg potęgowy (11.1.5) ma promień zbieżności R, a suma jego równa się /(¹), to szereg potęgowy z pochodnych wyrazów szeregu pierwotnego

OO

Y na„(x-b)ⁿ~' = fl! + 2a₂(x-b) + la_i(x-b)² + ... +na_n(x-b)ⁿ~^l + ...

n = 1

ma ten sam promień zbieżności R, a suma jego g(x)jesr pochodną sumy szeregu pierwotnego-.

g(x) —f(x) dla |jr|<l?.

Jeżeli natomiast chodzi o wartości brzegowe x= — R lub x= + R, to mogą zachodzić trzy możliwości: 1) oba szeregi są zbieżne, 2) oba rozbieżne, 3) szereg Y a„(x — b)'’ zbieżny, a szereg £ na„(x — b)"~ ¹ rozbieżny.

(11.1.7)    Twierdzenie o jednoznaczności. Jeżeli dwa szeregi potęgowe

f.a_n(.x-b)ⁿ, Y c„(x-b)",

n = 0    n = 0

odpowiednio o promieniach zbieżności R_t> 0 / R₂> 0. mają tę samą sumę dla \x-b\^<r-gdzie 0<r<min(/?,, R₂)(')₁ to ich wszystkie współczynniki są odpowiednio równe, tj.

^a0~^C0i ^al^=C\ ’ ^a2 ^{= C}2i •••’ ^an~^Cn)

czyli jest to jeden i ten sam szereg.

Zadanie 11.1. Zbadać zbieżność szeregu

oraz zbieżność szeregu utworzonego z pochodnych wyrazów tego szeregu.

Rozwiązanie. Mamy tu a„ = l/n\ a„+₁ = l/(n+ l)^ł. Obliczmy promień zbieżności

n²

lim = hm _:-—; = 1»    czyli R = 1.

n-*co ^un    n-*ao

l

(n + iy

Dla x= 1 mamy £ ~1> J^{est t0 szere}g harmoniczny rzędu <r=2, a więc jest to szereg

*=i ⁿ

® (-1)"

bieżny. Dla x= - 1 mamy szereg przemienny Y—— , który jest (na podstawie poprzed-

niego) bezwzględnie zbieżny.

Rozpatrzmy teraz szereg utworzony z pochodnych wyrazów szeregu pierwotnego:

" X"'¹ _t * x²

Z —=¹+_T+_T+-

n=l ⁿ    23

W szeregu tym mamy u = l/(n+l), a_n+, = l/(n + 2), a więc

.. a»+t .. n + 1 .    ..    _D .

hm-= lim-= 1, czyli    R = 1,

"-♦oo    n

-»« n +2

co wiadome było z góry na podstawie twierdzenia (11.1.6).

Jeżeli x= 1, to szereg utworzony z pochodnych wyrazów badanego szeregu przybierze

, * ¹

postać 2, — i jest to szereg harmoniczny, a więc jest rozbieżny. Dla x=-\ mamy

n= 1 n \n-t

» (_l)ⁿ

I —-— ; jest to szereg anharmoniczny, a więc jest zbieżny.

<=>1 n

Zadanie 11.2. Znaleźć promień zbieżności szeregu potęgowego

CO

Y nxⁿ=x + 2x² +3x³ +...

"« 1

Rozwiązanie. Mamy tu a„=n, a_B+1=n +1, a więc

lim = lim — 1 _{> CZ}yh R = \.

n~* co Cł_n /!-♦ oo M

Gdy x = 1, mamy szereg Y ⁿ rozbieżny, ponieważ wyraz ogólny rośnie nieograniczenie, j .    »= 1    ®

s y -1, otrzymujemy szereg Y (~ •)"”> który również jest rozbieżny.

71 = 1

Badanie 11.3. Znaleźć promień zbieżności szeregu potęgowego

X x² x³

.?.^‘¹ + r⁺2!⁺3!⁺-

Rozwiązanie. Mamy tu a.= 1/n!, a.. _t = I/(n+1)!, a więc

hn.

lim

o_n

n!    1

-— = lim--— = lim-= 0, czyli R = + oo,

a„    n—oo (n -H1)! „-ecU + 1

^Szereg t_en j_est zbieżny dla każdego x.

1

min (R,. R₂) oznacza mniejszą z liczb R,, R₂ lub ich wspólną wartość, gdy są równo