128(1)

2) Różniczkujemy równania parametryczne cykloidy względem t

dx    .    dy • ,

x = - , = a(l—cosf), ;■'=    , = «sm/

dt    dt

i znajdujemy różniczkę jej luku

dl = j/P+y² dt = j/a²(l—cos^-H^sin²* df =

= a\ 2(1—cosf) dt

= a 4 sin² _y

„ di = 2asin— z/r 2 2

Pełny luk cykloidy (rys. 89) powstaje przy zmianie parametru od 0 do 2n, wobec czego

2 n 2.*t
r t r .	r	, r	— 4 a	t
sin -- dt — 4a sm		d - —		cos
2 J o 0	2	2		2

12.i

= 8a

jjj

3) Z danego równania krzywej q = cos³- - obliczamy pochodną q

-- - - = —acos² ^-sin i różniczkę jej luku df    o 3

dl = } c>²+(r/)² d? - |

= 1 ' c²cos’

⁶ <f -j-a²cos‘^l ([ sin² -f- d(f = a cos² ' d<y

Gdy 7■ zmienia się od 0 do —koniec promienia wodzącego zakreśla

połowę krzywej (rys. 116). Dlatego, na podstawie wzoru (2), całkowita długość krzywej wynosi «    3    3

cos | di/ =

■    r l

L = 2a I cos² -{- d<p = a f 11 ~

— -071

o 2 "

, 3 . 2<p «P + _ysm-_T

643. Obliczyć obwód figury ograniczonej krzywymi y³ = xr i y = \2 — X¹.

Rozwiązanie. Rozwiązując układ równań obu krzywych, wyznaczamy dwa punkty przecięcia się krzywych: A( 1, 1) i B(— 1, 1). Zaznaczając na płaszczyźnie wykresu te punkty i kreśląc przechodzące przez nie krzywe, otrzymujemy figurę symetryczną względem osi Oy (rys. 117). Jej obwód

wynosi L = 2(L$'_a-\-Lzć).

y=V2-x*

B

0

Rys. 117

1 A

Korzystając ze wzoru (1) znajdujemy

4

9

oraz

*A    i

(jest to ósma część długości okręgu, o promieniu y 2). Szukany obwód figury wynosi

17'

259