122

122



Zajmiemy się teraz interpretacją geometryczną pewnych pojęć wprowadzonych w teorii liczb zespolonych. Łatwo zauważyć, że dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych zltz2 odpowiada dodawaniu i odejmowaniu wektorów 0zx i Oz2. Interpretacja geometryczna mnożenia liczb zespolonych jest bardziej skomplikowana. Prosta jest natomiast interpretacja operacji tworzenia liczby sprzężonej oraz interpretacja modułu liczby zespolonej. Na rysunku poniżej (rys.l) zaznaczono liczby z, z oraz odcinki o długości \a\, \b\, \z\.



Jak widać, operacja tworzenia liczby sprzężonej odpowiada odbiciu symetrycznemu względem osi OX, a moduł |zl liczby z równa się odległości punktu z od początku układu współrzędnych. Wobec tego (rys.2) zbiór liczb zespolonych o module ljest obwodem koła o promieniu 1 i o środku w początku układu współrzędnych. Natomiast (rys.3) zbiór liczb zespolonych o module mniejszym niż ljest wnętrzem tego koła. Wynika stąd również, że odległość punktów zlrz2 równa się \zx — z2\ (odległość punktów zlrz2 równa się długości wektora ztz2, a więc długości wektora Oz2 — Ozv ale Oz2 - Ozx = O (z2 zŁ) i długość tego ostatniego wektora równa się— z2\ )■ Otrzymujemy w ten sposób ciekawa interpretację geometryczną twierdzenia o module sumy. Jest ono mianowicie równoważne twierdzeniu, że suma dwu boków trójkąta jest nie mniejsza od trzeciego boku (tzw. nierówność trójkąta). Istotnie, rozpatrzmy trójkąt o wierzchołkach 0,z1,z2. Długość boku zxz2 równa się \z1 — z21, długość boku Oz, równa się |z,| dla l = 1,2, a z prawej części nierówności (7) mamy \z1—z2 | < kj + | ~z2 | = IzJ + | z2 I-

Możliwość rozpatrywania punktów płaszczyzny jako elementów ciała (liczb zespolonych) ma doniosłe znaczenie dla wielu działów matematyki, np. jest punktem wyjścia jednego z najważniejszych działów analizy — teorii funkcji analitycznych i oddaje usługi przy badaniu geometrycznych własności płaszczyzny i jej podzbiorów. Choć więc rola liczb zespolonych jest inna niż liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych (np. nie służą one do liczenia czy wyrażania miary długości, powierzchni i objętości), to pojęcie liczb zespolonych jest jednym z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
img192 192 Zajmiemy się teraz wyznaczeniem widma gęstości mocy procesu (1.5.1). W tym celu znajdujem
Slajd39 3 Metoda simpleks Odwołując się do interpretacji geometrycznej (graficznej), metoda simpleks
16 3. Generowanie zmiennych losowych I. Ogólne metody Zajmiemy się teraz pytaniem, jak „wyprodukować
Image38 (9) ProgramowanieAlokacja znakówspecjalnych Zajmiemy się teraz elementem, który jest główną
SWScan00081 M8_ KONTRAKTY TERMINOWE f OPCJE M8_ KONTRAKTY TERMINOWE f OPCJE Przykłady Zajmiemy się t
005 2 84. Zeemanowskie widmo EPR atomu i cząsteczki Zajmiemy się teraz niesparowanym elektronem znaj
261 § 3. Zbieżność szeregów dowolnych 381. Szeregi naprzemienne. Zajmiemy się teraz szeregami, który
Rozdział 4Elementy teorii miary Zajmiemy się teraz całkowaniem funkcji wielu zmiennych. Czytelnik wi
005 2 4.Zeemanowskie widmo EPR atomu i cząsteczki Zajmiemy się teraz niesparowanym elektronem znajdu
[jaźń]01 JAŻS 1 Zajmiemy się teraz problemem, czy wzrost świadomości spowodowany przez wycofanie nic
imag0193le 1.2.2. Interpretacja geometryczna, postać trygonometryczna oraz wykładnicza liczby zespol
dsc04975i 1.2.2. Interpretacja geometryczna, postać trygonometryczna ora/, wykładnicza liczby zespol
37380 img455 (2) Czy zauważasz różnicę?Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie Zastan

więcej podobnych podstron