136(1)

zbiornika otworzono otwór o przekroju s = 0,01 m², przez który woda wypływa z prędkością 0,6 j 2gh, gdzie: h — poziom wody ponad-otworem, g- - przyspieszenie ziemskie. W ciągu jakiego czasu: 1) woda wypłynie ze zbiornika, 2) poziom jej zmieni się o h ni, jeżeli z góry będzie stale dopływał strumień wody o natężeniu V m³ na sekundę?

Rozwiązanie. 1) W myśl ogólnego schematu (I), podzielmy szukany przedział czasu t na dużą liczbę n małych odstępów czasu At,, At₂, .... At„, tak aby w każdym z nich poziom wody w zbiorniku obniżył się o Ax =

= " (ry^s- 130).

Jeśli założyć, że w każdym z tych małych odstępów czasu At, prędkość wypływu wody z otworu w dnie zbiornika ma wartość stałą, równą wartości

Rys. 130

0,6j 2g(H—Xi),jaką miała na początku danego odstępu czasu, to porównując objętość wody przepływającą przez otwór w dnie w danym odstępie czasu At i z objętością części zbiornika opróżnionej w tym samym czasie, otrzymamy przybliżoną równość

0,6s i 2g(H- x^)At, x SAx

skąd

At, x

__SAx

0,6s y 2g(//-jCj)

Poszukiwany całkowity czas t będzie więc równy

i» 1    i=l

SAx 6s| 2g(H—Xi)

(*)

przy czym, w myśl warunków zadania, wartości x, zawierają się w przedziale [0, H].

Stwierdziwszy, że ze wzrostem n błąd otrzymanej wartości przybliżonej t dąży do zera, znajdujemy ścisłą wartość t jako granicę sumy całkowej (*) przy n -» +oo, czyli jako wartość odpowiedniej całki oznaczonej

0,6s) 2g

Podstawiając wartości liczbowe parametrów, otrzymamy / X 1 010 sek « x 16,83 min.

Gdyby ubytek wody w zbiorniku był stale uzupełniany, tak aby jej poziom nie zmieniał się, to prędkość wypływu wody też byłaby stała i równałaby się 0,6 y2gil. W tym przypadku przez otwór w dnie zbiornika w każdej sekundzie przepływałaby ilość wody objętościowo równa 0,6 sy'2gH, co stanowi objętość walca prostego o polu podstawy s i o wysokości 0,6 i 2gH. Przy tych założeniach, czas potrzebny na wypłynięcie ze zbiornika wody o objętości równej pojemności zbiorniku będzie wynosił _f    SH    1 5    /2If

0,6s \/TglI    2 0,6s\ g

Zestawiając ten wynik z uzyskanym uprzednio, widzimy, że czas t, w ciągu którego woda ze zbiornika wypłynie bez uzupełniania jej ubytku, jest dwa razy większy od czasu t_u w ciągu którego wypłynie ta sama ilość wody, ale przy dopływie utrzymującym stały jej poziom, czyli t = 2t_x.

2) W tyra przypadku w małym odstępie czasu At objętość wody w zbiorniku zmieni się o wielkość

skąd

At

dt

SAx X [Q,6s)/2g(H-x) -V]At SAx

0,6s\/2g(H—x) -V Całkując dt w granicach od x = 0 do x = h znajdujemy szukany czas t₂, po upływie którego poziom wody w zbiorniku zmieni się o /i(m)

f ^dx

U = a - ■----

J \ H-x-b

o ’

a ■    ^S    ,    V

gdzie: a =-t=t, b =-

0,6s\2g    0,6.? \ 2g

18* 275