149(1)

dowolnej z góry danej liczby dodatniej e, dla wszystkich M takich, źe odległość M Mo jest mniejsza od pewnej liczby dodatniej 6 (zależnej od sj Funkcja f(M) jest ciągła w punkcie M₀, jeżeli

Lim f(M) = f(M_a)

M—Mo

Na to, aby funkcja f(M) była ciągła w punkcie Mo konieczne jest spełnienie następujących warunków:

1) /( '/) musi być określona w punkcie M_n i w jego otoczeniu,

2)    powinna istnieć granica f(M), gdy M -* M₀ w dowolny sposób,

3)    granica ta powinna być równa f(M₀).

Funkcja ciągła, w każdym punkcie pewnego obszaru D, nazywa się funkcją ciągłą w tym obszarze.

714. Wyznaczyć granice:

DlimltM 2) lim-i-y    _x+o xjy

x-*3

y-y 0

Rozwiązanie. Stwierdziwszy, że dane funkcje są nieokreślone w punktach granicznych odpowiednio je przekształcamy, korzystając ze wskazań podanych w § 7, rozdz. T. Mamy:

3 • 1 = 3,

. ,• tga

ponieważ lim —— = 1 a'-*0 K

2) lim —= lim ——

.^o z+y    i, Z

o    ¹ • ,_v

W przykładzie 2) granica nie istnieje, ponieważ iloraz nie ma granicy,

gdy punkt M(x, y) zmierza do punktu granicznego M(0,0) w sposób

dowolny. Na przykład, gdy M -* M_a w-zdłuż różnych prostych y — kx,

y    .    y    ,

to — = k, czyli stosunek —, a tym samym i jego granica zależą od współ

czynnika kątowego prostej, po której porusza się punkt M.

715. W jakich przypadkach funkcja wielu zmiennych będzie nieciągła w punkcie Mol Zilustrować te przypadki przykładami.

Rozwiązanie: 1) Funkcja f(M) będzie nieciągła w punkcie W₀, jeżeli będzie określona w otoczeniu tego punktu, lecz w samym tym punkcie będzie nieokreślona.

.yOy, z wyjątkiem punktu M₀ (O, 0), a więc w punkcie tym funkcja jest nieciągia. W pozostałych punktach płaszczyzny liczbowej funkcja jest ciągła.

2) Funkcja będzie nieciągła w punkcie M₀, jeżeli jest określona w otoczeniu i w samym tym punkcie, ale nic ma granicy, gdy punkt M -> M₀.

Na przykład funkcja

sin

u =

3

gdy a- = y = 0

jest nieciągła w punkcie A/₀(0, 0); chociaż jest określona w samym punkcie i w jego otoczeniu (jak zresztą w całej płaszczyźnie xOy), lecz nie ma określonej granicy, gdy M Afo-W pozostałych punktach płaszczyzny funkcja ta jest ciągła.

Af—A?o

3) Funkcja f(M) będzie nieciągła w punkcie Mo, jeżeli jest określona w samym punkcie i w jego otoczeniu, ale lim f{M) ¥=f(M₀).

Na przykład funkcja

jest nieciągła w punkcie Mo(l, 2); chociaż jest określona w samym"punkcie i w jego otoczeniu, lecz jej granica dla M M₀ nie pokrywa się z wartością funkcji w punkcie Mo, gdyż lim z = 2 # z(M₀) = 1.

z

(0,0,5)

(0,5,0)

y

Rys. 147

Wykresem lej funkcji jest cała płaszczyzna z = 5—x-y bez punktu ^(1. 2, 2), zamiast którego do wykresu należy punkt Q( 1, 2, 1) (rys. 147).

301