163

324 XVI. Całki funkcji wymiernych

Przyjmując x=0 otrzymujemy A = — l, a przyjmując x=l otrzymujemy 3= ^2 stawiając obliczone wartości otrzymujemy

x⁶—6x^s + 10x⁴ — 17x³ + 8x² — 5x + l =

= —(x³ — 3x²+3x — 1)(x⁴ + 2x² +1)-2x(x⁴+ 2x² +1) + Cx (x -1) (x² +1)² ₊ +Dx (x -l)² (x² +1)² + x (Ex+F) (x -1)³ + x (Gx + H) (x -1)³ (x² +1), skąd po redukcji

x⁷ - 2x⁶ +x⁵ + 3x⁴ — 6x³ + 3x² =

= Cx(x-1) (x² +1)² +Dx(x-1)² (x² +1)² + +x(Ex+F)(x-l)³+x(Gx + H)(x-l)³(x² + l).

Zauważmy, że prawa strona tożsamości dzieli się przez 1), a więc i lewa strona musi dzielić się przez to wyrażenie; po wykonaniu dzielenia obu stron otrzymujemy

x⁵-x⁴+3x²~3xs

= C(x² + l)² + D(x- l)(x² +1)² + (Ex+ F)(x- l)² + (Gx + H)(x- 1) V +1).

Przyjmując x = l otrzymujemy C=0. Tożsamość przyjmuje teraz postać

x^s-x⁴+3x²-3x = D(x-l)(x² + l)²+(Ex+F)(x-l)²+(Gx + H)(x-l)²(x² +1).

Dzielimy obie strony tożsamości przez x-l:

x⁴ + 3x=D(x² + l)²+(Ex+F)(x— l)+(Gx+H) (jr-l)(x² +1).

Przyjmując x = l otrzymujemy D = 1. Podstawiając tę wartość do tożsamości otrzymujemy po redukcji

- 2x² + 3x — 1 = (Ex + F) (x — 1) + (Gx + H) (x — 1) (jc² +1).

Dzielimy obie strony tożsamości znowu przez x—l:

— 2x +1 =Ex +F+(Gx + H) (x² +1)=Ex+F + Gx³ +Gx + Hx² +H,

skąd G-0, H=0, E=-2, F= 1.

Mamy więc

x⁶-6x^s + 10x⁴-17x³+8x²-5x + 1_    1    2    1    -2x+l

(x*+2x² + 1)(x⁴-3x³+3x²-x) x (x-l)³ +x-1 ⁺(x² + l)²

Całkując obie strony tożsamości otrzymujemy

/ =

f dx f dx f dx f

~\~²) (*-D³⁺J ¹

= — ln x +

—2x + l (x² + l)²

2x dx

dx-

(*-l)

(x²+iy

^:+I

dx

(x² +1)²

przedostatnią całkę obliczamy według zadania 15.8:

2 x dx    — 1

(*² +1)² x² +1 ‘

Ostatnią całkę obliczamy według zadania 16.22:

I

dx    x .

72 = 2- -r-:+^^arctg*.

(x² + l)^{2 2} x² + l

Ostatecznie więc po przekształceniu otrzymujemy

1

J = ln

1    ,    x+2

⁺M?⁺>?Ti⁺’^,rc‘'^,+C'

Zadania

Obliczyć całki (zad. 16.26 - 16.98): 16.26. J (2*+ 1)³ dx.

16.27.

dx

(3*-2)‘

f 3x-4

j m

16.30. r_^±H_

J x²-4x—

dx.

dx.

-13

₃ dx. X + 2

5x + ll x² + 3x~ 10

dx

x²+2x-l

5+x

16.34.

16.36. |

16.38. J.

16.40. | -

16.42. f—^d—₂.

J 2x — 3x²

, f 2jc — 1 16.44.    -

J jc²-6x + 9

10x + o-² dx

dx.

5+6x — x²

dx.

r 2x

•J^

.31. J _;

,    2x—3

16.29.    --dx.

3x+3

2x+6

2x + 3* +1

r 4x 16.33.    —=-—

J 2x² —

16.35. | -

dx.

5x + 3

dx.

r <

16.37. —j—

J 6x² —

§*-16

²+3x-18

dx

dx.

13x+6

16.39.

lx

4 + 5x²

dx.

f dx J l+x-x²

f 3x+2

16.43. —=- dx.

J x²-x-2

C x-l

16.45.    - dx

J 4x²-4x + l

16.