166 2

330 XVII. Całki funkcji niewymiernych

Po rozkładzie na ułamki proste mamy

f ^ f j!L. J t² + t +1 J t-1

Całkując otrzymujemy

gdzie

/ = ^ln(/² -t-t + 1) +y/3 arctg-^L-ł-ln|f-l|+C,

v ^

Zadania

Obliczyć całki (zad. 17.6-17.35):
17.6.	J yj2x + ldx.	17.7. %	dx
			V3+4x
17.8.	P dx	n.». j	dx
	X 1		\/(2x + l)^3
17.10.	J xl/x-4dx.	17.11. J x\j3x-\dx.
17.12.	\ x\I 2 + 3 xdx.	17.13. jxs/l-5xdx.
17.14.	J x Vx-4dx.	17.15. •	xdx
			\l2x + 3
17.16.	j* x^2dx	17.17. «	r *^2+i
	J 3tJx + 2		V 3a^- +1
17.18.	J xV2x + 3dx.	17.19.	dx
			x\Jx + a
17.20.	r dx	17.21.	f ^n/* dx
	J xsjx-a		x-\~
17.22.		17.23.	PlWI --=. dx. l-Jx
17.24.	r dx J (x + l)Vl-X	17.25.	\Jl+yJxdx.
17.26.	f ljxdx	17.27.	f ^dx
	J X + VP'		1 \/x +2\! x^2

r

dx	17.29.	f dx
yjx~5+\jx-l		J xsjx+9
x^2\jl — 2xdx.	17.31.	f dx J Jx +1 +V*
fx— 1 dx	17.33.	|* /l— x dx
\ x-2 (x-l)^2'		J Vl+x x

=t\

>’•* j

17.30

I ^xdx

17.34. n=-7=» podstawie jc + 1

***r

dx, podstawić x = t°.

J Vl+I-Vx + 1 X! X¹x+\.

V*-i

§ 17.2. CAŁKI FUNKCJI ZAWIERAJĄCYCH PIERWIASTEK KWADRATOWY Z TRÓJMIANU KWADRATOWEGO

Całka funkcji, w której występują tylko działania wymierne (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie i potęgowanie) wykonane na zmiennych x i \/ax² + bx+c, daje się zawsze wyrazić przez funkcje elementarne (funkcje wymierne, trygonometryczne, odwrotne do nich funkcje kołowe czyli cyklometryczne oraz funkcje wykładnicze i logarytmiczne).

Podstawowymi całkami funkcji niewymiernych, do których wiele innych da się sprowadzić, są

I

dx

dx

y/x²+k

przy czym drugą znamy bezpośrednio (17.2.1)    ^r dx

Vl—:

V l-x²

, = arc sinx + C.

Pierwsza całka przy założeniu, że x² + k>0, sprowadza się do całki funkcji wymiernej ^{PfZez tzw}- pierwsze podstawienie Eulera:

x+\^x² +k = t.

^arny \J_x² + k = t-x, czyli x² + k = t²-2tx+x², skąd (2)    t²~k 1 / k\

"    ^X~2T-2{'-1)'