1 13

1.    Z przedziału (0,1) wybieramy losowo dwa punkty x i y. W zależności od wartości parametru m € R obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia y < m - x.

2.    Z urny zawierającej 3 kule białe i 2 czarne losujemy 3 razy ze zwracaniem po dwie kule (w jednym losowaniu wyciągamy jednocześnie dwie kule). Niech X oznacza liczbę otrzymanych par kul czarnych.

a)    Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej X.

b)    Wyznaczyć EX i D²X.

3. Jednowymiarowa zmienna losowa X ma rozkład o funkcji gęstości

/(*) =

cx ⁴ dla x € (1, oo), 0 dla x $ (1, oo).

a)    Wyznaczyć stałą c.

b)    Wyznaczyć funkcję gęstości zmiennej Y =

4. Niech (X_n) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach

1II10) i |i Ig 11 (n-“)) = P (x_n = (n-“)) =

gdzie qGE. Dla jakich a ciąg (X_n) spełnia warunek Kołmogorowa?

dla x e (0,1), dla x £ (0,1).

500

5. Dany jest ciąg (X_n) niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie o funkcji gęstości

Obliczyć przybliżoną wartość

P

340 < X_n < 365

n=l