1 (43) 3

49

jr ciągiem Cauch/ego, z t dian > Nim^ N. kach, które pojawiają

lej X, a S — zbiorem irednicą (^ł) zbioru E

., to jest oczywiste, że = 0.

żeni metrycznej X, to

i (n = 1,2,3,...) i jeśli

ię takie punkty p, q\ diam E.

tym. Jeśli K zawiera Z, 2 więc diam K„ >

jjr ciąg zbieżny jest

krn (ptzyp. red.).

Ciągi Cauchy’ego

I bi Jeżeli X jest zwartą przestrzenią metryczną i {p_n} jest ciągiem Cauchyego w X, to {p„} k zbieżny do pewnego punktu X. f c WRj każdy ciąg Cauchy'ego jest zbieżny.

I Uwaga. Różnica między definicją ciągu zbieżnego a definicją ciągu Cauchy’ego polega Bi tym. że w pierwszej definicji występuje granica w sposób jawny, a w drugiej nie. Dlatego Bierdzenie 3.11 b) rozstrzyga, czy dany ciąg jest zbieżny, nawet jeśli nie znamy granicy, do Birr dąży.

[ Fakt (zawarty w twierdzeniu 3.11), że ciągi w R^k są zbieżne wtedy i tylko wtedy, gdy są Bk²¹™ Cauchy’ego, nazywa się na ogół kryterium zbieżności Cauchy'ego.

[ Dowód. a)Jeśli lim p„ = pis > 0, to istnieje liczba całkowita N taka, że d(p_n, p) < ^edla »“» 00

.V. Stąd, jeśli n ^ N i m ^ N, mamy

d(p„, pj < d(p„, p)+d(p_m, p) < e,

■ węc {p„} jest ciągiem Cauchy’ego.

| bt Niech {p„} będzie ciągiem Cauchy’ego w zwartej przestrzeni X. Dla N — 1, 2, 3, ... Bk& £_v będzie zbiorem składającym się z p_N, p_N+l, p_N+2,... Wtedy na mocy definicji 3.9 Bnerdzenia 3.10 a)

lim diam E_N = 0.

AT-*oo

Baciy ze zbiorów E_N jest zwarty jako domknięty podzbiór zwartej przestrzeni X (twier-Boue 2.35). Także E_N <= E_N+l i wobec tego E_N <= E_N+l.

Na mocy twierdzenia 3.10 b) istnieje więc jedyny punkt p e X należący do każdego E_N. i Niech będzie dana liczba e > 0. Na mocy (3) istnieje liczba naturalna N₀ taka, że diam B < £ dla N > N₀. Ponieważ p e E_N, więc wynika stąd, że d(p, q) < e dla dowolnego

Bc £ _v, a zatem i dla dowolnego q 6 E_N. Mówiąc inaczej, d{p, p„) < e, jeżeli n > N₀. Oznacza Łżsp.-fp.

c) Niech {.x_B} będzie ciągiem Cauchy’ego w R^k. Określmy E_N jak w b) z x, na miejscu p,. Dla pewnego N mamy diam E_N < 1. Zbiór wartości ciągu {x„} jest sumą zbiorów E_N i zbioru Ifcoóczonego {x[,..., x_n _!}. Wobec tego {x„} jest ograniczony. Ponieważ każdy ograniczony podzbiór R^k posiada zwarte domknięcie (twierdzenie 2.41), więc c) wynika z b).

3.12. DEFINICJA. Przestrzeń metryczną X, w której ciąg Cauchy’ego jest zbieżny, nazywamy zupełną. Dlatego twierdzenie 3.11 b) można sformułować tak: R* jest zupełną przestrzenią metryczną. Przykładem niezupełnej przestrzeni metrycznej jest przestrzeń wszystkich liczb wymiernych z odległością d(x, y) = |x—y|.

Twierdzenie 3.2 c) i przykład d) do definicji 3.1 pokazują, że ciągi zbieżne są ograniczone, aie ograniczone ciągi w R^k nie muszą być zbieżne. Jednak zachodzi pewien ważny przypadek, gdy zbieżność jest równoważna ograniczoności. Tak jest z ciągami monotonicznymi w R^l:

3.13. DEFINICJĄ. Ciąg s„ liczb rzeczywistych nazywamy

a)    monotonicznie rosnącym, jeśli s„ ^ s_n+1 (n= 1,2,3,...),

b)    monotonicznie malejącym, jeśli s„ ^ s„_+l (n= 1,2,3,...).

« - Podstawy analizy matematycznej