1tom017

I. WYBRANE ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI I FIZYKI 36

— dla równania typu hiperbolicznego w postaci Su dt ,

Jeżeli obszar D jest ograniczony, to na brzegu S tego obszaru rozpatrywać można trzy rodzaje warunków brzegowych:

1. Warunek Dirichleta

u(P) = <p(P), PeS;

= g(P), PeS

1. Warunek Neumanna d u

du

p

du

gdzie — oznacza pochodną w kierunku normalnej zewnętrznie zorientowanej względem D.

3. Warunek Hankela (mieszany)

du

a(P) —

d n

+ h(P)u(P) = g(P), PeS

Jeżeli dla równania typu parabolicznego są sformułowane, zarówno warunki brzegowe, jak i początkowe, to zagadnienie to nosi nazwę zagadnienia Fouriera.

Metoda rozwiązania postawionego zagadnienia dla równania różniczkowego cząstkowego zależy od typu równania i rodzaju warunków granicznych. W zastosowaniach najczęściej występują równania następujących postaci:

1. Typ eliptyczny: u(x,y) (lub u(x,y,zj)

d²u

—    równanie Laplacea--1- -—- = 0

dx'    dy

,    d²U d²u

—    równanie Poissona —5- + —- = f(x,y)

8x    dy²

■    , . , d²u <5²u    7

—    równanie Helmholtza —- -(--- + k u = 0

dx² dy²

2.    Typ paraboliczny: u(x, £)(lub u(x,y,z,t))

.    ,    , S²u du

—    równanie przewodnictwa cieplnego —z---

dx² dt

3.    Typ hiperboliczny: u(x,t) (lub u(x,y,z,t)) d²u 1 d²u

równanie falowe    =f(x,t),

dx²

a² dt²

(lub V²u = 0)

Oub V²u =f)

(lub V²u+k²u = 0)

=/(x,t) (lub V²u--^- =/)

dt

Do równania falowego można sprowadzić równania Maxwella opisane układem (przypadek szczególny)

— f. SE Vxff = ——, c dt

X7 n    V ^8H

V x E =---,

c dt

V • H = 0,

V-£ = 0

gdzie: E(E_X, E_y, E,) — wektor pola elektrycznego o współrzędnych zależnych od (x,y,z, t); H(H_x,H_y,H.) — wektor pola magnetycznego o współrzędnych zależnych od (x,y,z,t); s — przenikalność elektryczna; p — przenikalność magnetyczna.

Rozwiązując układ względem H lub E i korzystając z tożsamości wektorowych (p. tabl. 1.6) otrzymuje się

Równania Maxwella wraz z warunkami początkowymi i brzegowymi wyznaczają jednoznacznie pole elektromagnetyczne w czasoprzestrzeni (x,y,z,t).

Zagadnienie Cauchy'ego dla równania falowego postaci

i'²    “ dx²

V²H

su c²H .    „_2? en S²E

__ _=0 oraz V²E--j-—j- = 0

et²

dt²

gdzie laplasjan

V²H = \y²H_x,V²H_y,V²H_z~\ jest liczony względem (x,y,z) oraz

d²H

8t²

c²H_x e²H_y d²H_z

dr

3t²

or

fu dt²

z warunkami początkowymi

u(x,t)l,=o = <?(*)>

CI

= i//(x) dla xe(— cc, oo)

ma rozwiązanie uzyskane tzw. metodą charakterystyk w postaci wzoru d’Alemberta

1 1 *⁺r°‘ u(x, t) = -—[<p(x+at) + <p(x—aty] + — j ij/(z)dz

^    ^^ax-at

gdzie: proste x + at = const i x-at = const nazywają się charakterystykami równania.

Zaburzenia początkowe rozchodzą się wzdłuż charakterystyk. Na podstawie wzoru d’Alemberta można wyznaczyć rozwiązanie zagadnienia Cauchy’ego dla jednorodnej linii elektrycznej [1.6]. W przypadku, gdy linia jest bez strat (R = G = 0), wówczas w równaniu falowym a = 1 /-JLC, gdzie L — indukcyjność, C — pojemność, zaś warunki początkowe przyjmują postać

Su    1

«(*.0l,-o =/(*);    —    =-—g'(x)

Ot _t-Q    C

Po prostych przekształceniach można określić napięcie linii

u(x,t) = ~[f(x + at)+f(x-at)]+ ~

^L [g(x-at)-g(x + at)]

oraz prąd

\J(x—at)—f(x + aty\

1 1

t(x,t) = —[g(x-at)+g(x+at)~]+-

Zagadnienie graniczne, zawierające zarówno warunki brzegowe, jak i początkowe rozwiązuje się następująco [1.3; 1.6]:

1.    Metodą rozdzielenia zmiennych zwaną metodą Fouriera;

2.    Metodą potencjałów;

3.    Metodą przekształceń całkowych, głównie Fouriera i Laplace’a;

4.    Metodami różnicowymi.

Metoda rozdzielenia zmiennych jest najczęściej stosowaną metodą dla liniowych równań dowolnego typu. Wykorzystuje ona właściwości liniowych równań różniczkowych, pozwalające na stosowanie metody superpozycji. Istota metody polega na tym, że rozwiązania określonego zagadnienia granicznego z jednorodnymi (zerowymi) warunkami brzegowymi poszukuje się w postaci iloczynu funkcji, w którym każda z nich zależy od jednej zmiennej.