217(1)

malnie, szereg Taylora można napisać dla każdej funkcji, która w otoczeniu punktu a ma pochodne dowolnego rzędu. Szereg ten będzie jednak zbieżny do funkcji f(x), z której powstał, tylko dia tych wartości x, dla których reszta R„ wzoru Taylora (rozdz. III, § 1) dla tej funkcji dąży do zera, gdy n rośnie nieograniczenie.

Gdy a = 0, szereg Taylora staje się szeregiem potęgowym względem zmiennej niezależnej x

m

/'(O) _ , /"(O)

1!

2!

*²+

, /(»)(0)

n:

*■+

(M)

Szereg ten nazywa się szeregiem Madaurina.

Aby daną funkcję rozłożyć w szereg potęgowy, czyli rozwinąć na szereg Taylora trzeba:

A)    napisać (utworzyć) szereg Taylora dla danej funkcji, tzn. obliczy^ wartość tej funkcji i jej pochodnych dla a = a i podstawić je do ogólnego wyrażenia szeregu Taylora (T) dla dowolnej funkcji,

B)    Zbadać resztę R„ wzoru Taylora dla danej funkcji i określić zbiór wartości x, dla których otrzymany szereg jest zbieżny do danej funkcji (tj. dla których lim R_n = 0).

Dla wielu funkcji, wykorzystywanych w praktycznych zastosowaniach analizy matematycznej, przedział zbieżności szeregu Taylora pokrywa się ze' zbiorem tych wartości a^-, dla których odpowiednia reszta R„ -» 0, gdy ti —*• -ł-oo; innymi słowy dla wielu funkcji każdy punkt x zbieżności szeregu jest i punktem zbieżności szeregu do funkcji, z której szereg ten powstał. Z tego powodu przy rozwijaniu wielu funkcji na szereg Taylora zamiast badania odpowiedniej reszty R_n, co w wielu przypadkach jest zbyt skomplikowane, można ograniczyć się do zbadania zbieżności samego szeregu Taylora, jako zwykłego szeregu potęgowego.

1011. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcje: e^x, sin a, cos*.

Rozwiązanie. A) Wartości danych funkcji i ich pochodnych dowolnego rzędu dla x = 0 zostały obliczone przy rozwiązywaniu zad. 302, (rozdz. III, § 1). Podstawiając te wartości do ogólnego wyrażenia na szereg Maclaurina (M) dla dowolnej funkcji, otrzymamy szeregi Maclaurina dla funkcji danych:

1 + -

1!

A²

⁺ 2!'⁺3T^f-⁺7dT ⁺

Y³ Y⁵ Y⁷    X²"^-1

sinx = 3f + śf- tf+ - +(-¹)ⁿ'¹ ₍2„_i)T⁺ -

y2 _v4 _y6    _Y2n

c°s^= 1-2T+41“ 6T+ - ^+(_1)'^,l^oT⁺ -

B) Każdy z tych szeregów jest zbieżny do tworzącej go funkcji dla wszystkich wartości x, bowiem, jak wykazaliśmy rozwiązując zad. 302, dla każdej z tych funkcji reszta i?„ we wzorze Maclaurina dąży do zera, gdy n rośnie nieograniczenie, przy czym zachodzi to dla każdej wartości x.

1012. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcje: 1) (l-+-x)^m, 2) ln(l-fx).

Rozwiązanie: 1) A. Na podstawie rozwiązania zad. 303 i w myśl definicji szeregu Maclaurina, dla dowolnej funkcji otrzymujemy

w

_x2

2!

w (w — 1) (ot —2) ' 3T

*³+

+

ot(ot — 1)... (m—n+1)

n\

(D)

Dla naturalnego wykładnika m napisany szereg dwumienny będzie zawierał skończoną liczbę wyrazów, równą m-j-1, bowiem współczynniki przy wszystkich następnych wyrazach będą równe zeru. W tym przypadku powyższy szereg sprowadza się do elementarnego wzoru na dwumian

Newtona.

B. Zbadajmy zbieżność szeregu dwumiennego (D), gdy m nie jest liczbą naturalną. Zastosujemy w tym celu kryterium d’Alemberta. Mamy

ot(ot— 1) (w —2)..			(m-n+l) ^
^Ltn w»+l =	OT (OT-	n\ -1) (m—2)	... (ot ń)	*'^v ? vnł- 1
		(n-j-1)!
	= lim	(m—n)x	= |x| lim	■2—1 n
U„		»+l		1 + — ^1 n

Zatem q < 1, gdy — 1 < jc < 1. Na mocy kryterium d’Alemberta szereg dwumienny (D) jest więc zbieżny w przedziale — 1 < x < 1 i przy tym, J^ak dowodzi się w podręcznikach analizy, jest zbieżny rzeczywiście do dwumianu (l+x)^m.

437