230(1)

Podobnie jak w zad. 1040 (1 i 2), również i w tym przykładzie jednego ze współczynników szeregu nie można było obliczyć z wyznaczonego wyrażenia ogólnego. Dlatego rozkładając daną funkcję w szereg Fouriera, po wyznaczeniu ogólnych wyrażeń na współczynniki a„ i b„ zawsze trzeba sprawdzić, czy mają one sens dla wszystkich (wskazanych we wzorach (2)) wartości n. Dla tych wartości n, dla których wyrażenia te tracą sens, należy oddzielnie obliczyć odpowiednie współczynniki przez podstawienie tych wartości n do ogólnych wzorów Fouriera.

1041. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcje okresowe:

l)/(.x) = X² w przedziale — n < x < rr; f{x) = f(x-t2ji). Na podstawie

otrzymanego rozwinięcia obliczyć sumy szeregów: a) ł— A f-(, —

4^Z + •••» ^b)

2)    <p(f) — x² w przedziale 0 < x < zt; y(x) = <p(xĄ-ri)

X

3)    u = cos-y w przedziale 0 < * < 2n\ u(x} = u(x - 2%)

Rozwiązanie. Wszystkie te funkcje czynią zadość warunkom twierdzenia Dirichleta, a więc można je rozwinąć w szereg Fouriera.

1) Dana funkcja jest parzysta, o wykresie (rys. 20%) symetrycznym względem osi Oy. Wszystkie współczynniki b„ są równe zeru, a współczynniki a„ obliczamy ze wzorów (3).

Otrzymujemy

a„ — ~l x²cosnxdx = — ^-cosnx+ (—--\ ) sin/j*

7t J    I    \ w n /

o    L.    V    /

4cos«7t _    .    4

~ „2    —    (    V    „2    I

n    n

(zastosowaliśmy tu dwukrotnie wzór na całkowanie przez części).

2) Ze wzorów ogólnych (2) obliczamy współczynniki Fouriera dla danej

7t

funkcji, podstawiając / - — (okres funkcji wynosi tc\ rys. 210). Mamy

—7! 0

Rys. 210

X
IjL
\ 2n	4 n^3)

Dla n — O (i / = rr) ze wzoru (3) znajdujemy

2n²

~3~

Wobec tego

'y

₂ nr _A r-_T-4

cosx

"T“

cos2r , cos3x

... +(-!)"-

cos

2^{2    1}    3²

Otrzymane rozwinięcie dla danej funkcji okresowej ciągłej jest słuszne wszędzie, dla każdej wartości x. Innymi słowy otrzymany szereg Fouriera jest zbieżny do danej funkcji na całej osi liczbowej. Wykres funkcji i wykres sumy szeregu Fouriera dia tej funkcji całkowicie się pokrywają.

Podstawiając w otrzymanym rozwinięciu x = 0, znajdziemy sumę danego w' zadaniu szeregu liczbowego (a)

1—1 + J-

2²    3²

1

JL+.

4²    nr

a podstawiając x — n, znajdziemy sumę szeregu (b)

(—I)"-¹ -v+

uf

12

2²

¹+-¹ 3^{2 +} 4²

71

~6~

^an — — I x²cos2nxdx = — cos2mr+ ---^-_rjsin2nJC =

nJ    n |_2«²    \2n    4n³/ J₀

cos 2 nic    1

= —2—- = —;

n~    n-

TC J 0

x²dx

[SI-

71

463