235(1)

2,    gdy    O < x    <    3

2) />(*)=    1,    gdy    x — 3

O,    gdy    x >3

O,    gdy    x < O

3)    q(x) =    nx,    ^gdy    O < x    <    1

O,    gdy    * > 1

Rozwiązanie: 1) Dana funkcja jest funkcją nieparzystą (rys. 214), zatem na podstawie wzoru (3)

+ CO    +00

<p(x) = J sinourdbt j <p(t) sin atdt

y=-e*

Całkę wewnętrzną I obliczamy osobno, całkując przez części (por. zad. 491). Mamy

I = lim | e~'smxtdt

P~*-+ CO Q

= jnm

e^_,(sinar4-acosat)l' ⁰

1+a²    J t-t

1+a²

Wobec tego

+ to

, .    2 C asinaxdx

<p(x) = —    —r~~l    x ź O

n J i -j-or

Wykluczamy tu .r = O, ponieważ dla x = O otrzymana całka Fouriera nie równa się minus jedności (<p(0) ?= —1), lecz zeru, tyle bowiem wynosi średnia arytmetyczna granic jednostronnych tej funkcji dla x— O i x -> +0.

2) Funkcja p(x) jest określona tylko w przedziale (O, -j-oo). Można ją więc przedstawić w różny sposób za pomocą całki Fouriera.

■ — .....'----------- -- ■- ■ -_____ • .....•■ =---------------- -----___

Przy parzystym przedłużaniu funkcji na przedział (— oo,0], ze wzoru (2) otrzymamy

+ oo    3    + co

,_N 2f    r    4 r cosa*sin3ada

p(x) = — cosocxda    2cosa tdt =—    -

n J    J    n J    a

oo    o

a przy przedłużaniu nieparzystym, ze wzoru (3) otrzymamy

,(*) = | f siaxxch12sin«* -    II-«»3*)*nwcd,

o    o    ⁷¹ o

Obie całki Fouriera przedstawiają daną funkcję w całym obszarze jej istnienia, z punktem nieciągłości x = 3 włącznie, ponieważ w punkcie tym wartości każdej z całek

-|[ lim p(*)+ lim p(x)\ = 1 x-*3-Q    *-*3+0

i wartość funkcji p(3) = 1 są jednakowe.

3) Stosując wzory (1) znajdujemy współczynniki A i B

+ co

A( a) = — 1 q (t) cos at dt— n J
— 00	cosa/^/+.T | 0	1 +a> /cosa/d/-f ( 0 • cosatdt
f/sina/ ,	cosa/”j'^=1	asina+cosa—1
L « ^4	a^2 J,-o“	a^1

+ 00 1

r>/\    1 C .. .    . r .    ,    sina —a cos a

B(a) — — q(t)smoctdt — \ tsm«tdt =-₂-

Ti J    J    a

— co    O

Podstawiając wyznaczone współczynniki do wzoru (1), otrzymamy +«

q(x) = j -^₂-[(asina-}-cosa—l)cosax'4-(sina—acosa)sinaa]ia o

Całka ta jest zbieżna do funkcji q(x) na całej osi liczbowej, z wyjątkiem punktu * = 1, w którym funkcja q(x) jest nieciągła. W punkcie tym

całka jest równa    , podczas gdy q{ 1) = n.

473