243(1)

funkcję m(x, y) = 2xy—3.v+y, której różniczka zupełna jest identyczna z lewą stroną danego równania różniczkowego. Po przyrównaniu tej funkcji do stałej dowolnej, otrzymamy całkę ogólną danego równania

2xy-3x+y^} = C

którą należało wyznaczyć.

2) Po sprawdzeniu, że w rozważanym równaniu lewa strona jest różniczką zupełną pewnej funkcji u(x, y)

(.v+1nb|); = j = (l + y + sin^

znajdujemy następnie tę funkcję, całkując osobno każdą z różniczek cząstkowych

« = j (*+ln|v|)</.v — ^-+xln >14-^0')

u = | (l-fy -fsinyj dy = .y+jdnfyj-cosjy-i-yO)

Zestawiamy teraz ostateczne wyrażenie na funkcję u (przez dopisanie do wiadomych wyrazów pierwszej całki brakujących wyrazów, zależnych tylko od y, z całki drugiej). Przyrównując otrzymane*wyrażenie do stałej dowolnej C, znajdujemy całkę ogólną danego równania

-ę+A-łnlyl-l-y-cosy = C

którą należało wyznaczyć.

Sprawdzić, że poniższe równania pierwszego rzędu są równaniami różniczkowymi zupełnymi oraz rozwiązać je:

1092.    (3.Y²y²-f 7)dxĄ-2xⁱydy — 0

1093.    (e^y+ye^x+3)dx = (2-xe^y-e^x)dy

1094.    sin(Y-fy)r(Y-f xcos(x+y) (dx-\-dy) = 0

1095.    (2x+ye^xy)dx-\-{\^Jrxe^xs)dy = 0, przy warunku y(0) = 1

1096*. paśf +,)*-(-!!*    o

§ 6. Równania wyższych rzędów sprowadzalne do równań rzędu r iszego

1) Równanie n-tego rzędu y⁽ⁿ⁾ = f(x) rozwiązuje się przez kolejne całkowanie. Mnożąc je obustronnie przez dx i całkując otrzymamy równanie

(/z — 1 )-go rzędu: y^(n_1) = J f(x)dx+C_l = 9h(-\')+Q-

Mnożąc ponownie obie strony równania rzędu (n— 1) przez dx i całkując

otrzymamy równanie («-2)-go rzędu: y^{n~²> = jrp_l(x)dx+ f C,dx-\-C₂ -= T^M+C^-f-C, itd.

Całkując tak n-krotnie znajdujemy całkę ogóiną y równania wyjściowego, jako funkcję zależną w sposób jawny od ar, i od n stałych dowolnych: v = r/'n(-x)-r C[Xⁿ~¹ j- C₂ar"^_2+ ... + C„.

2)    Równania drugiego rzędu: A) f(x, y , y") = 0 i B) F(y, y\ y") = 0, nie zawierające w jawny sposób funkcji y lub argumentu ar, sprowadzają się

do równań pierwszego rzędu przez podstawienie / = p (skąd y” —    —

dla równania A, albo y" = p -J- — dla równania B).

1097. Rozwiązać równania:

1) /" - 60.Y²    2) (x—3)y"+y' = 0

3)    yy" — (y'f=yⁱ, przy warunku j(0) = — l, /(O) = o

Rozwiązanie: 1) Mnożąc dane równanie obustronnie przez dx, a następnie całkując je, sprowadzamy równanie trzeciego rzędu do równania rzędu drugiego: y'"dx = 60.vV.v; y" = 20 w³+ Cj.

Analogicznie znajdujemy równanie rzędu pierwszego, a potem szukaną funkcję, tj. całkę ogólną danego równania

y"dx — 20xⁱdx^JrC_idx; y' = 5x*Ą-CixĄ-C₂ y'dx = {5x⁴-\C_lX-\-C₂)dx; y = x⁵+C₁    +C₂x+C₃

2)    W danym równaniu drugiego rzędu nie występuje wyraźnie funkcja y.

Biorąc y' = p. otrzymamy y" — i po podstawieniu sprowadzimy je do równania pierwszego rzędu

₍,_3)f ₊ „ = °

Rozdzielając zmienne i całkując, znajdujemy ~^^p -f — 0 i In|p!+lnj.v-3: - InC; |/>(*-3)| = C; p(x-3) = ±C = G_L. Zastępując teraz funkcję pomocniczą p przez otrzymamy równanie ^'^V~3Ci, którego rozwiązanie jest szukaną całką ogólną

dy =    y = Ci ln \x-3\-\-C₂

4«y