246(1)

1108. Wyznaczyć całkę szczególną równania, spełniającą podane obok warunki początkowe:

1)    y"+4y'+5y = 0;    y(0) = -3, /(O) = 0

2)    y'"+3y"+3y'+y = 0;    y(0) = -1, /(O) = 2, y"(0) = 3

Rozwiązanie: 1) Najpierw znajdujemy całkę ogólną danego równania, którego równaniem charakterystycznym jest r²-l-4r+5 = 0. Pierwiastki równania charakterystycznego są równe: r_L2 = — 2±i. Dlatego, zgodnie z regułą 2, całką ogólną będzie y = <r^2jt(C,cos.x:-|-C₂sinA-).

Z kolei, korzystając z warunków początkowych, wyznaczamy wartości stałych C_t i C₂. Podstawiając w całce ogólnej dane wartości zmiennych x = 0, y = —3 (pierwszy z warunków początkowych), otrzymamy

— 3 = e°(C_lcosO+C₂sin 0) albo —3 =

Różniczkując c&łkę ogólną

y' = e^-2* [(C₂—2C,) cos x—(C, -}-2C₂) sin x]

i podstawiając w uzyskanym wyniku wartości .v = 0, y' = 0 (drugi z warunków początkowych), otrzymamy drugie równanie o niewiadomych C, i C₂

0 = e°[(C₂-2QcosO^—(C_t+2C₂)sin0] albo C₂-2C, = 0

Rozwiązując otrzymany układ równań, znajdujemy C_Y = — 3, CV = — 6. Podstawiając teraz wartości C_x i C₂ do całki ogólnej, znajdziemy szukaną całkę szczególną danego równania, spełniającą warunki początkowe: y = —3e^_2x(cosjc-r2sinA).

2) Równanie charakterystyczne r³+3r²+3r+l = 0 czyli (r+l)^:' = 0 danego równania różniczkowego ma potrójny pierwiastek rzeczywisty r= — l(r, = r₂ = r₃ = —1). W myśl reguły, 3, całką ogólną jest więc y = e~*(C_l-\-C₂x-\-C_ix²).

Różniczkując tę całkę dwukrotnie

/ = e^-* [C₂—Cj (2C₃ — C₂)x — CjA²]

y" = e~^z[Ci~ 2C₂+2C₃+(C₂-4C₃)A+Cpr]

oraz podstawiając do wyrażeń dla y, y' i y" dane wartości funkcji i obu pochodnych dla x — 0, otrzymamy układ trzech równań: — 1 = C_x, 2=C₂—Ci, 3 = C,—2C₂+2C₃, z którego znajdujemy: C7_t-== — 1; C₂ = 1; C₃ = 3. W konsekwencji szukaną całką szczególną będzie

y - e~*(3x?+x— 1)

AOA

Rozwiązać równania: 1109. y"-5y'-\-6y = 0

1110. y'"-2y"+3y' = 0

^d’y , ₆ ^d*y , ₂₅ *y ₀. _11l2 <i^ls d²s

. __₊6__₂-₊25-^-0    1112. --^+5 _s

^im‘ dx>

1113. y"'-3y"+3y’-y = 0 d^Ąy d²y

'■ -&+*>-£+& = * “«**•*>

= 0

1114. yW-8yM-9y = 0

d²x

~d?

d³x ~a-x

-3^r-Kx = 0

warunku >’(0) = 0, /(O) = 1

dx²

1117.    y"—y = Q, przy

1118.    y"+2y'+2y = 0, przy warunku ^(0) = 1, >>'(0) = 1 1119*. -^--f2a ^ +o²q = 0, przy w-arunku q(0) = a, o'(0) = O

§ 8. Równania liniowe niejednorodne wyższych rzędów o stałych współczynnikach

Równaniem liniowym niejednorodnym nazywamy równanie różniczkowe stopnia pierwszego względem niewiadomej funkcji i jej pochodnych

**+Pxj^^v+P2/-*+ ••• -rPn--y'+p_ny = q(x)    (1)

różniące się od równania liniowego jednorodnego tym, że po prawej stronie równania występuje nie zero, lecz pewna znana funkcja q, zależna od zmiennej niezależnej x.

Całka ogólna niejednorodnego równania liniowego jest sumą pewnej (dowolnej zresztą) całki szczególnej y₂ tego równania oraz całki ogólnej u odpowiedniego równania jednorodnego (powstającego z równania niejednorodnego dla q ~ 0).

^ myśl tej własności, aby rozwiązać równanie liniowe niejednorodne (1) o stałych współczynnikach p_t, należy najpierw znaleźć funkcję u (według reguł § 7), a potem funkcję y,. Suma obu tych funkcji będzie całką ogólną y równania niejednorodnego: y = uĄ-y_{.

fMa niektórych specjalnych typów funkcji q(x) całkę szczególną można znaleźć metodą nieoznaczonych współczynników. Biorąc pod uwagę postać prawej strony równania, czyli funkcji q(x), można z góry określić postać całki szczególnej y_t, w której niewiadomymi będą tylko pewne współczyn-ⁿ'ki liczbowe, i znaleźć tę całkę bez całkowania. Metodę tę można stosować ^{w nast}ępujących prostych przypadkach:

495