248

494 Rozwiązania i odpowiedzi

19.43.	64 3 *		19.44.	0,950.
19.45.	32 3 ’		19.46.	^P=[^^3]o + [|^-^^3]! = t-
				3k + 2
19.47.	9		19.48.
	2			9tr —2
19.49.	15 2 ~	-8 ln 2.	19.50.	6(3n +8).
19.51.	i 16 *		19.52.	P=-l[e-^2\X + l)f0 = i-Ae-
19.53.	P=	3 [.x sin + 3 cos 1*]^.,, = § (^/3 -	i)*+|0	-n/3).

DO ROZDZIAŁU XX

20.7.    P = |a²[i0+isin20]o = jrca²; okrąg o średnicy a i środku (±n, \n).

20.8.    Gdy 9 przebiega przedział $K^9^n lub przedział in^9^2n, to otrzymujemy ujemne wartości promienia wodzącego r. Jeżeli r₀ > 0, to przez punkt (9₀, —r₀) rozumiemy punkt (9₀ + n, r₀); przy tej umowie dane równanie wyznacza rozetę czworolistną (naszkicować tę krzywą), P=\na².

20.9.    Rozeta dwunastolistna (zobacz rozwiązanie poprzedniego zadania), P=\na².

20.10. Naszkicować krzywą i wykazać, że krzywa jest symetryczna względem osi biegunowej:

P' = |a²[|O+2sin0+^sin2O]J = |7ra², skąd P=2P' = frca².

20.11.    Naszkicować krzywą, P=\a²

20.12.    P=a²n.

20.14. P=3na².

= 5 Ti a .

20.13. P = -

np

(1-e²)* 20.15. P=”V3.

+ oo

20.16. P = 9a²

(2t³ — \)t²dt

3x3

(1+0

-9a>]

(1-2 t³)t²dt (1-H³)³    ’

1

gdzie

Całkę można napisać w postaci

, r°(2t³-l)f²dt , , F(2u — l)du    . r 2    3    1 T 3 ₂

^> = 9° J (l + I³)² "^3a J (1+u)³ ” *    (hT)* 2 (l+u)²Jo^_ 2 *

Naszkicować krzywą biorąc najpierw przedział 0<t<r₀, a potem przedział t₀<t<+&>-20.17. P = a²(±7t +1-^3).    20.18. P = 1J3.

20.19. P=Ą.    20.20. P = 3(4jc³+3ji).

20.21. P = 24Ti.

_c*

20.22. F=|ji —.

⁸ ab

20.28. L = -²[(l+;c)³'²]³ = ^. 20.30. L = f[(l+3jc)*]J=£.

9,5 +3sflÓ

20.27. L = £[V(l+9x)³]S^/9 = p. 20.29. L = *[(l+±x)*]* = |(2V2-l).

20.31. L=f[(l+2x)^²=^.

20.32.    L=lf[(l+fx)*]² = if(^V3l-l).

20.33.    L = i|[(l+|^]² = i|(VVn-l).

20.34. L = [Vx² +x +1 ln|x+|+Vx²+.x|]? = 3 Vl0- ,/2 +5 ln

i+yfi

20.35. L=[arcsin(jc-l)]J = |jt.    20.36. L = i[arcsin(2x-l)]$ = ijr.

20.37. Przyjmujemy y za zmienną niezależną i mamy

2    _

L=\ J v4 + y²dy = V2 + ln(l +V'2).

20.38. L = [\h>x+x² +|In|jt + | W*² + 3*j]J = 2 +§ln3.

20.39. L-f[*⁴]i“T-    20.40. L = [lntgix]|* = iln3.

20.41. L = [lntg(~n+jx)]o* = ln(y/2 +1).    20.42. L=a[sinh(x/fl)]⁰-_fl=a(e-e“¹)

r r~2—    1+7^+TT^¹    ,, ,

20.43.    L= Vx² + l-ln---I _ =l+|ln|.

20.44.    L = [lni-^-xl =ln3-ł.

L 1-* Jo

20.45. L = [ln(e^x-e"*)]^ = ln(e^ł + e"^ł).    20.46. L=[arcsinx + Vl-x²]¹_₁ = n.

20.47. L=a[2+V31n(2+V3)].    20.48. L=|+±ln2.

20.49.    L=Vl+e²-_N/2+ln|Vr+7²-l|-l-ln|_v/2-l|.

20.50.    L = 4a[sini0]o = 4a.

20.51. L = i0[0V0² + l+ln|0+V0² + l|]Ó = 5a(V²+lnl¹+V2|)-

20.52.    L = aj^-^-^+ln|0 + V0² + l|J = a(£+lnf).

20.53.    L=[2a0]i^ = 27ia.

20.54. L = p [V2 + ln (1 + ^2)] .    20.55. L = [r +±f ³]j^ = 2 ^3.