3 5

- METODY PROBABILISTYCZNE / STATYSTYKA -

ZADANIA 3-5

ZAD. 16. Z talii 24 kart losowana jest jedna karta, ^oznacza zmienną losową przyjmującą wartość 0 w przypadku wylosowania trefla, 2 w przypadku wylosowania kiera lub karo, 3 w przypadku wylosowania pika. Y oznacza zmienną losową przyjmującą wartość 5, gdy zostanie wylosowany as, 4 gdy król, 3 w przypadku wylosowania damy, 0 w pozostałych przypadkach. Wyznaczyć rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y).

ZAD.17. Wektor losowy (X,Y) typu skokowego ma rozkład: P(X = 4,Y = -1) = -^; P(X - 2, Z = 0) = -j^; P{X = 4, Z = 0) = P(X = 2,Y = 2) =-j¹r; P(X = 4, K = 2) = -jj. Wyznaczyć:

a)    /⁵(l<A'<4,2<y<5);

b)    dystrybuantę wektora (X,Y) \

c)    rozkłady brzegowe;

d)    rozkład warunkowy zmiennej X, pod warunkiem, że Y = -1;

e)    rozkład warunkowy zmiennej Y, pod warunkiem, że X = 4.

I) Zbadać niezależność zmiennych X i Y.

g) Obliczyć p(X, Z).

ZAD.18. Gęstość wektora losowego (X,Y) dana jest wzorem:

f fiv(l - y) dla    0 < x < 1 a x <. y < 1

/ (.v, v) = <

[    0 dla pozostałych punktów

Wyznaczyć:

a)    stałą a;

b)    dystrybuantę wektora (X, Y);

c)    rozkłady brzegowe;

d)    Obliczyć p(A\y).

c) Zbadać niezależność zmiennych X i Y.

ZAD. 19. (X,Y) jest wektorem losowym takim, że EX = 0, D^ZX = 5, EY = -2, D^:y = l,p(A’,n = ^r- Obliczyć EZ i D²Z , gdzie Z = -4X + 3Y.

ZAD.20. Dany jest wektor losowy (X_]tX₂,X₃). Która ze zmiennych pozostaje w najsilniejszym związku z pozostałymi dwiema? Które dwie zmienne są w najsilniejszej zależności. jeśli eliminujemy wpływ trzeciej zmiennej? Macierz korelacji wektora losowego ma postać:

1 -i ł

1    0    .

0 1

ZAD.21. Zmienne losowe X_t,...,X_]m są niezależne o jednakowym rozkładzie Poisso-na z parametrem X = 2. Obliczyć wartość wyrażenia    X, > 19()j.

ZAD.22. Strzelec trafia do celu z prawdopodobieństwem 0,5. Jaką liczbę strzałów musi oddać, aby prawdopodobieństwo tego. że częstość trafienia do celu różni się od 0,5 o co najwyżej 0,1 było równe 0,95?

Opracowaia Joanna Banaś

ZAD.23. Badano zawartość (w mg) pewnej substancji w szpiku kostnym i otrzymano 9 następujących wyników: 1,7; 2,0; 1,8; 1,2; 1,5; 1,4; 2,0; 1,2; 1,6. Przyjmując, że zawartość substancji ma rozkład normalny oszacować punktowo i przedziałowo:

a)    średnią masę substancji (poziom ufności 0,98);

b)    wariancję zawartości substancji (poziom ufności 0,98).

Czy wielkość próby była wystarczająca do oszacowania średniej zawartości substancji na poziomie ufności 0,95 z dopuszczalnym błędem wynoszącym 0,2 mg?

ZAD.24. W pewnym mieście prowadzono badania ludności dotyczące metrażu zajmowanego lokalu w m². Otrzymano następujące wyniki:

Metraż [.t,]	Liczba rodzin [«,-]
20-40	180
40-60	252
60-80	150
80- 100	15
100- 120	3

Przyjmując, że metraż zajmowanego lokalu ma rozkład normalny oszacować punktowo i przedziałowo:

a)    średni metraż (poziom ufności 0,94);

b)    wariancję metrażu (poziom ufności 0,95).

ZAD.25. Oprocentowanie 3-micsięcznych lokat w 10 wylosowanych bankach w Polsce wynosiło w kwietniu 2005 roku: 26, 24, 25, 28, 30, 28, 28, 25, 30, 26 [%]. Zakładamy, że wysokość oprocentowania ma rozkład normalny.

a)    Czy na poziomie istotności 0,05 można stwierdzić, że średnie oprocentowanie badanych lokat we wszystkich bankach było mniejsze niż 28%?

b)    Podać przykład innego poziomu istotności, dla którego średnie oprocentowanie badanych lokat w bankach było istotnie mniejsze niż 28%.

c)    Czy na poziomie istotności 0,01 można stwierdzić, że wariancja oprocentowania lokat wynosiła 3?

ZAD.26. W celu zbadania miesięcznego zużycia wody [w m³] przez mieszkańców na pewnym osiedlu w Krakowie wylosowano 100 mieszkań z tego osiedla i otrzymane wyniki przedstawiono w szeregu przedziałowym rozdzielczym.

Zużycie wody [m^3]	Liczba mieszkań
1-5	5
5-9	15
9-13	40
13-17	25
17-21	15

a)    Zweryfikować przypuszczenie, że średnic zużycie wody na badanym osiedlu wynosi 13 m³ (poziom istotności 0.02).

b)    Od jakiego poziomu istotności można odrzucić rozważaną w punkcie a) hipotezę zerową?

c)    Czy na poziomie istotności 0.05 można stwierdzić, że odchylenie standardowe zużycia wody jest większe niż 2 m²?

Opracowau Joaswa Banaś