- METODY PROBABILISTYCZNE / STATYSTYKA -
ZAD. 16. Z talii 24 kart losowana jest jedna karta, ^oznacza zmienną losową przyjmującą wartość 0 w przypadku wylosowania trefla, 2 w przypadku wylosowania kiera lub karo, 3 w przypadku wylosowania pika. Y oznacza zmienną losową przyjmującą wartość 5, gdy zostanie wylosowany as, 4 gdy król, 3 w przypadku wylosowania damy, 0 w pozostałych przypadkach. Wyznaczyć rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y).
ZAD.17. Wektor losowy (X,Y) typu skokowego ma rozkład: P(X = 4,Y = -1) = -^; P(X - 2, Z = 0) = -j^; P{X = 4, Z = 0) = P(X = 2,Y = 2) =-j1r; P(X = 4, K = 2) = -jj. Wyznaczyć:
a) /5(l<A'<4,2<y<5);
b) dystrybuantę wektora (X,Y) \
c) rozkłady brzegowe;
d) rozkład warunkowy zmiennej X, pod warunkiem, że Y = -1;
e) rozkład warunkowy zmiennej Y, pod warunkiem, że X = 4.
I) Zbadać niezależność zmiennych X i Y.
g) Obliczyć p(X, Z).
ZAD.18. Gęstość wektora losowego (X,Y) dana jest wzorem:
f fiv(l - y) dla 0 < x < 1 a x <. y < 1
/ (.v, v) = <
[ 0 dla pozostałych punktów
Wyznaczyć:
a) stałą a;
b) dystrybuantę wektora (X, Y);
c) rozkłady brzegowe;
d) Obliczyć p(A\y).
c) Zbadać niezależność zmiennych X i Y.
ZAD. 19. (X,Y) jest wektorem losowym takim, że EX = 0, DZX = 5, EY = -2, D:y = l,p(A’,n = ^r- Obliczyć EZ i D2Z , gdzie Z = -4X + 3Y.
ZAD.20. Dany jest wektor losowy (X]tX2,X3). Która ze zmiennych pozostaje w najsilniejszym związku z pozostałymi dwiema? Które dwie zmienne są w najsilniejszej zależności. jeśli eliminujemy wpływ trzeciej zmiennej? Macierz korelacji wektora losowego ma postać:
1 0 .
0 1
ZAD.21. Zmienne losowe Xt,...,X]m są niezależne o jednakowym rozkładzie Poisso-na z parametrem X = 2. Obliczyć wartość wyrażenia X, > 19()j.
ZAD.22. Strzelec trafia do celu z prawdopodobieństwem 0,5. Jaką liczbę strzałów musi oddać, aby prawdopodobieństwo tego. że częstość trafienia do celu różni się od 0,5 o co najwyżej 0,1 było równe 0,95?
Opracowaia Joanna Banaś
ZAD.23. Badano zawartość (w mg) pewnej substancji w szpiku kostnym i otrzymano 9 następujących wyników: 1,7; 2,0; 1,8; 1,2; 1,5; 1,4; 2,0; 1,2; 1,6. Przyjmując, że zawartość substancji ma rozkład normalny oszacować punktowo i przedziałowo:
a) średnią masę substancji (poziom ufności 0,98);
b) wariancję zawartości substancji (poziom ufności 0,98).
Czy wielkość próby była wystarczająca do oszacowania średniej zawartości substancji na poziomie ufności 0,95 z dopuszczalnym błędem wynoszącym 0,2 mg?
ZAD.24. W pewnym mieście prowadzono badania ludności dotyczące metrażu zajmowanego lokalu w m2. Otrzymano następujące wyniki:
|
Metraż [.t,] |
Liczba rodzin [«,-] |
|
20-40 |
180 |
|
40-60 |
252 |
|
60-80 |
150 |
|
80- 100 |
15 |
|
100- 120 |
3 |
Przyjmując, że metraż zajmowanego lokalu ma rozkład normalny oszacować punktowo i przedziałowo:
a) średni metraż (poziom ufności 0,94);
b) wariancję metrażu (poziom ufności 0,95).
ZAD.25. Oprocentowanie 3-micsięcznych lokat w 10 wylosowanych bankach w Polsce wynosiło w kwietniu 2005 roku: 26, 24, 25, 28, 30, 28, 28, 25, 30, 26 [%]. Zakładamy, że wysokość oprocentowania ma rozkład normalny.
a) Czy na poziomie istotności 0,05 można stwierdzić, że średnie oprocentowanie badanych lokat we wszystkich bankach było mniejsze niż 28%?
b) Podać przykład innego poziomu istotności, dla którego średnie oprocentowanie badanych lokat w bankach było istotnie mniejsze niż 28%.
c) Czy na poziomie istotności 0,01 można stwierdzić, że wariancja oprocentowania lokat wynosiła 3?
ZAD.26. W celu zbadania miesięcznego zużycia wody [w m3] przez mieszkańców na pewnym osiedlu w Krakowie wylosowano 100 mieszkań z tego osiedla i otrzymane wyniki przedstawiono w szeregu przedziałowym rozdzielczym.
|
Zużycie wody [m3] |
Liczba mieszkań |
|
1-5 |
5 |
|
5-9 |
15 |
|
9-13 |
40 |
|
13-17 |
25 |
|
17-21 |
15 |
a) Zweryfikować przypuszczenie, że średnic zużycie wody na badanym osiedlu wynosi 13 m3 (poziom istotności 0.02).
b) Od jakiego poziomu istotności można odrzucić rozważaną w punkcie a) hipotezę zerową?
c) Czy na poziomie istotności 0.05 można stwierdzić, że odchylenie standardowe zużycia wody jest większe niż 2 m2?
Opracowau Joaswa Banaś