3 (5)

Ciągłość i zwartość

79

; przestrzeni kreślone na Y

wykazać, że taki zbiór V. 5); stąd f(V^c) y w y(twier-Y, więc zbiór

w przestrzeń t X, jeśli dla

tajną. Przede nagłość może ja jest ciągła 50 e > 0 i dla ność podaną tażdego e > 0 :h punktów p

rów zwartych

itr żeni metry-iktowi p 6 X

przestrzeni X; dów pp„

Przyjmijmy

(19)    S = £ min[<p(pi),... ,<p(p„)].

Wtedy 8 > 0. (Niezbędne jest tutaj istnienie pokrycia skończonego przysługującego z definicji zwartości. Minimum skończonej ilości liczb dodatnich jest dodatnie, podczas gdy kres dolny nieskończonej ilości liczb dodatnich może być równy 0.)

Niech teraz p i q będą punktami X takimi, że d_x(p, q) < 8. Zgodnie z (18) istnieje liczba całkowita m (1 < m < n) taka, że p e J(p_m); stąd

(20)    d_x{p, pj < $<p(p_m),

i mamy także

dMPm) < d_x{p,q)+d_x(p, pj < 8+\<p(p_m) < <p(p_m).

Na koniec, z (16) wynika, że wtedy

d_y(f(p),f(.qj) < dyif(p), f(p_m))+dy{f{q), J(p_m)) < e.

Dowód został zakończony.

Inny dowód został zamieszczony w zadaniu 19.

Przejdziemy teraz do pokazania, że zwartość była konieczna w założeniach twierdzeń 4.14,4.15,4.16 i 4.19.

4.20. TWIERDZENIE. Niech E będzie zbiorem niezwartym w R^l. Wówczas

a)    istnieje funkcja ciągła na E, która nie jest ograniczona;

b)    istnieje ciągła i ograniczona funkcja na E, która nie ma maksimum.

Jeśli dodatkowo zbiór E jest ograniczony, to

c)    istnieje funkcja ciągła na E, która nie jest jednostajnie ciągła.

Dowód. Załóżmy najpierw, że £ jest ograniczony, istnieje więc punkt sk upienia x₀ zbioru £, który nie należy do £. Rozpatrzmy funkcję

(21)    f(x) =    (.x e £).

*--x₀

Ta funkcja jest ciągła na £ (twierdzenie 4.9), ale oczywiście nie jest ograniczona. Zobaczymy, że funkcja (21) nie jest ciągła jednostajnie. Niech e > 0 i 8 > 0 będą dowolne; wybierzmy punkt ,x e £ tak, aby |x—x₀| < 8. Wziąwszy t dostatecznie bliskie x₀, możemy uczynić różnicę !/(r)—/(x)| większą od e, mimo że |t—x| < 8. Ponieważ jest to prawdziwe dla dowolnego <5 > > 0, więc funkcja/ nie jest jednostajnie ciągła na £.

Funkcja g dana przez

(22)    g(x) m    —-j    (x e £)

l + (x-x₀r

jest ciągła na £ i jest ograniczona, ponieważ 0 < g(x) < 1. Jest rzeczą oczywistą, że supg(x) = 1

xeE

wtedy, gdy g(x) < 1 dla wszystkich x e E. A więc g nie ma maksimum na £.

Udowodniwszy twierdzenie dla ograniczonych zbiorów £, założymy, że £ nie jest ograniczony. Wówczas warunek a) jest spełniony dla funkcji /(x) — a, a warunek b) dla funkcji