4496

19

19

Liczby zespolono

^b) 2< l« + i|<4;

1 g^fg .2

z^a+4|<|*-2^

10

1.3 a) 0,ą,-2 + 2rV3, -2-2lVJ; b) brak rozwiązań; c) 2-3i,2-ł-3i; d) R*z « -2 lub Im i - 0; e) 2 - 9k f*) 2'.' g) —i ^h) “g*"-

1.5    a) półplasrczyma Im* $ 2; b) draga i awaria ćwiartka układu współrzędnymi b« obu o,i; c) zbiór pusty; d) okrąg o środku O i promieniu 2; o) okrąg o środku -5 +

i promienia 5; t) okrąg o środka I-ii promieniu 1 bez panktu

1.5    a) prosta pmcbodrąca przez punkty - I, 2i bez punktu 2i; b) okrąg o środku -2+| i promieniu %/Sbe* punktów -4 oraz 2i; c) okrąg o środku 2i i promieniu 2 bez punktu 4i; d) oś urojona bez punktów 0 ora* 4i.

^,.Tj(rjłtJ + ł>)-

Drugi tydzień

Moduł i argument liczby zespolonej (1.3). Postać trygonometryczna liczby zespolonej (1.4).

Przykłady

• Przykład 2.1

Obliczyć moduły podanych liczb zespolonych;

a) 4t: b) 12i-5; c) V?+V59i;

d)    ('/fi - \/3) + (v/5 +

e)    sino + icoao, gdzie a ęR.

Rozwiązanie

Moduł baby zespolonej z = z+iy, gdzie x, y € R. jest określony wzorem |z| =?

Zatem

a) |4iI=v5^łT5⁷=ś;

b)    |J2i -5|= _v/(-5)^, +12² = \Zl69 = 13;

c)    |t/?+ ^i| =    + (Z*i)⁷ • v/5? = 6;

d)    |(\/5- ^/1) + (V5+ >/5) i| = y(t/S-V5)^a + (>/5+\/3)^a a v^6« 4;

e)    |nao + ico»o| * \Ain² o -f cos² o ■ \/T = 1.

• Przykład 2.2

Podać interpretację geometryczną modułu różnicy liczb zespolonych. Korzystając z tiy interpretacji narysować zbiory liczb zespolonych z spełniających podane warunki:

Drugi tydziań - przykłady

a) (z + I — 2i| = 3;

c) |(1 + i)z - 21 >■ 4;

c) Re(« + 1) < 0 oraz \i - z| < ³»

Rozwiązania

Moduł różnicy liczb zespolonych *i, «* jat długością odcinka łączącego punkty zj, *_a płaszczyzny zespolonej (zobacz rysunek).

a)    Mamy

|* + 1 - 2*| = 3<=> |z-(-l + 2i)| -3.

Szukany zbiór składa się z punktów * położonych w odległości r = 3 od punktu *o = -1 +2i. Jest to zatem okrąg o środku w punkcie z® .» -1 + 2i i promieniu r — 3 (zobacz rysunek).

b)    Mamy

2 < [i + i| < 4 4=» Igpr - (-i)| < 4.

Szukany zbiór składa się z punktów z położonych w odległości nic mniejszej niż rj = 2 od punktu żq = —t oraz w odległości mniejszej niż ra = 4 od tego punktu. Jest to zatem pierścień kołowy o środku w punkcie to = — i promieniu wewnętrznym rj = 2 i promieniu zewnętrznym r₅ = 4. Okrąg o promienia n = 2 należy do tego pierścienia, a okrąg o promieniu r₃ a 4 nie należy do niego (zobacz ryzunek).

c) Mamy

|(l + «>-2|£4 e=> |(l + l>(»-^J|>4 <=* |1 + .|-|«-(1-0|>4 '/2|z-(l-i)l>4 «■ |*-(l-i)|>2>/2.

Szukany zbiór składa się z punktów z położonych w odległości nic mniejszej niż r = 2\/2 od punktu zo = 1 — i. Jest to zatem zewnętrze koła o środku w punkcie *o ^m 1 — i i promieniu r -= 2v/5. Okrąg o promieniu r = 2/2 należy do tego zbioru (zobacz rysunek), cl) Dla z 96 2i mamy