4523

Macierze i wyznaczniki

n

w wyniku lilticgo umego mnożeni* otnynuay równość która jat sprreai* i poprtednią. Ponieważ dcmcnly szukanej macierzy X nujg być niezależne od marierzy v1, wtęc taka macierz nic istnieje.

• Przykład* (.8

Niech /' oznacza macierz, która powstała z macierzy jednostkowej stopnia n przez ustąpienie 0 stojącego w i-tym wierszu i w ;'-tej kolumnie przez liczbę a, gdzie 1 (i < j $ n. Sprawdzić, co stanie się z macierzą kwadratową stopnia n, jeżeli pomnożymy ją z lewej lub»prawej strony przez macierz /’.

Rozwiązanie

Nitek ,4 będzie dowolną macierzą kwadratową stopnia n. Zbadamy efekt mnożenia ma-deriy d przez macierz /' z lewej strony. Niech

10... 0... 0 ...

i - ty wiersz

0 1 ... 0	... 0 ... 0
i 1 • • 0 0.., 1	te • • H
1 t '• » 0 0... 0	... 1 ... 0
• • « t i { * 8 0 0 ..J	.. o ... i

^fln|    Oran

nu nu •>. ni,,

Ozi s» 12»

I

=(M

RH

y U kolumna 1

W wyniku mnożenia /-tego wiewa macierzy /', gdzie I / i, przez kolejne kolumny macierzy A, wiersz o numerze I iloczynu będzie taki sam, jak wiersz o tym numerze w macierzy A. Natomiast w wyniku mnożenia i-tcgo wiersza macierzy /' przez ł- tą kolumnę macierzy A otrzymamy element ł,i = Młoty*. Oznacza to, ic w macierzy A do i-tego wierna dodano wiersz j-ty pomnożony przez liczbę o, Podobny efekt uzyskamy przez pomnożenie maderzy A przez macierz /' z prawej strony. W tym przypadku do i-tej kolumny maderzy A dodana zostanie jej y ta kolumna pomnożona przez liczbę a,

Zadania

O Zadanie 6.1

a)    Zaproponować opis, w formie macierzy złożonej z liczb całkowitych, położenia figur w grze w szachy. W jaki sposób można by sprawdzić, czy dana macierz odzwierciedla pozycję możliwą do uzyskania w czasie gry ?

b)    Zaproponować zapis, w postaci jednej macierzy, odległości drogowych i kolejowych w km między stolicami wszystkich województw w Polsce.

c) Ekran monitora komputerowego jest złożony z 1024 x 708 punktów. Każdy punkt może świecić jednym z 20 kolorów. Kolorowe obrazy na ekranie można zapisywać w postaci macierzy złożonej z liczb całkowitych. Założyć, że ekran monitora przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych, z początkiem układu w lewym górnym rogu ekranu. Zapisać w formie macierzy przybliżony kształt ćwiartki kolorowej tęczy złożonej z pierścieni kołowych (rysunek).

3) hAHactukcJ*    = »

Na rysunku:

0    - oznacza kolor biały,

1    - oznacza kolor niebieski,

2    - oznacza kolor zielony,

3    - oznacza kolor żółty,

4    - oznacza kolor czerwony.

d) Na rysunkach przedstawiono konstrukcje prętowe z ponumerowanymi węzłami:

I) plMkl ciwMaktl a pmkłUimli

3) ciwmołcUn.

O Zadanie 6.2

Obliezyć podane iloczyny macierzy:

»)

I®

1 0 0 1 1 o 0 1 1 o

f2 4 6 J^:

»)[

cos a sina

— sin a 1 _ f cos /? —sin/? cos a J [ sin 0 cos/? *

d) [ 1 2

3 4 5 ]

5

4

3

2

1

O Zadanie 6.3

Rozwiązać podane równania macierzowe i układ równań macierzowych:

b) 2Y

[:

i

0

2

0

0

4

0

IBs

1    1 flOll r 2 0 2 1

0    =    0 » o + Y- 0 4 0;

2    i LlOlJ [ 2 o 0 J

ii