4556

Dwunasty tydzień - zauuit

ssnMMI

Osus.cs* (o. »e punkt B nie nnWy do plnnayiny *.

«ł) Aby apuwtliif, cny proste l» i h mają punkt wspólny rozwiązujemy układ równań

I =- -l+n,

21 ==2 — a.

3< = —3 + 4s.

Ror wiąsaniem lego nklndn jest pała t ■ -1» • = O. Proste lj i f_a mają zatem P«nkt wspólny. Współrzędne tego punktu odpowiadają wartościom t = — 1 i a — 0 parametrów i aą równe r = —1. V — 2. * = — 3.

_G) Prosta f o wektorze kierunkowym 5 jest równoległa do płaszczymy » o wektorze normalnym ń wtedy i tylko wtedy, gdy Po n — 0 Wektor kierunkowy prostej rozważanej w sadaniu ma postać x = (-2.1.-1). a wektor normalny płaszczyzny x postać n w ^ j _ I _< _ 1). Wektory tc spełniają warunek * o ii * O, zatem prosta I jest równoległa do płaszczyzny x.

f) Dwie płaszczyzny są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich wektory normalne są współliniowe. Wektor normalny iii płaszczyzny »i : 2* + 3y — 5* + 30 ■= 0 ma postać a, = (2. 3, —5). Natomiast wektor normalny n_a płaszczyzny

x, r (*.*,*)- (-5.2.1)+*(0,5,3) + 1(1,1,1). gdzie 5.16/1

Zatem punkt wspólny prostych lj i h ma współ rsędse (—1.1.7).

b) Aby obliesyć współrzędne punktu przecięcia prostej ł i płaszczyzny *. wstawiamy przedstawienia parametryczne współrzędnych lej prostej do równania płaszczyzny. Wtedy

mamy

(1 + I) + (-31) + (4 - I) - 7 =» 0.

stąd I e-j. Punkt wspólny prostej I i płaszczyzny s ma zatem współrzędne ^-.2.    .

c) Aby znaleźć współrzędne punktu przecięcia płaszczyzn *», »a i fi, rozwiązujemy skład 6 równań z niewiadomymi parametrami r, *, t.s.s.w. Mamy

r b 1 + I - z ■ 2 + »,

| —2r - z*-1+l    ■ 3 - 2ts,

l 4r-f3su 1+1    ® 3 -w.

Rozwiązaniem tego układu równań jest szóstka liczb r a ).« = -1.1 m Q,s ■ 0,s = — ],v a 2. Punkt P przecięcia płaszczyzn x», Ti i rj odpowiada np. wuloiciom parametrów t = 0, u = 0, zatem P = (1, — l, 1)-

na postać

Az

Ponieważ wektory A| i A_a są

. (0.5.3) x (1. 1.1)    (2.3. -5).

współliniowe. więc płaszczyzny x* i *a są równoległe.

Przykład 12.7

Znaleźć punkty przecięcia:

%    . ..    *— 1 y + 3 _ t-1

a) prostych /» :    ^j—. «a : —5--

{'*= l-4-«,

y = —31, gdzie t ę R i płaszczyzny

y — 2 z - 3

”    -4 *

x : x -t- y + * — 7 = 0;

e) płaszczyzn    '    >. »

*1 :    = (0,0,0) + r(l,-2,4) + «(0,-1.3), gd*io r,s&R,

»*: (*.».*) = (l,-l,l) + l(l,l,l)+ii(-l.0,0), gdzie t.uGR,

•a : (x.y.*) = (2,3.3) + w(1.0,0) + u>(0,-2,-1) gdzie v,w e R.

Rozwiązanie    .    ,

a) Współrzędne (z.y,») punktu przecięcia prostych /» i h spełniają ukł r ^wn

-4

Rozwiązaniem tego okładu jest trójka liczb

Zadania

O Zadanie 12.1

Obliczyć iloczyny mieszane podanych trójek wektorów:

a)    3 = (-3.2,1). 6 = (0,1,-5), c = (2,3.-4);

b)    3 = 7+J, 3 = 2t- 3J+ k, w = —* + 2j — 5fc.

O Zadanie 12.2

Obliczyć objętości podanych wiclościanów:

a)    równoległościan rozpięty na wektorach a = (0,0; 1), ł = (-1,2,3), c = (2,5. —1);

b)    czworościan o wierzchołkach A = (1,1,1), B = (1,2,3), C — (2,3,—1), D z (-1.3.5);

c*) równoległościan o przekątnych 3, v, ib.

O Zadanie 12.3 Sprawdzić, czy

a)    wektory o = (-1,3, -5), 6 = (1,-1,1), c = (4,-2,0) są wspólpłaszeayznowe;

b)    punkty P = (0,0,0). Q = (-1,2,3), R = (2.3,-4), 5 = (2,-1,5) tą wzpół-pl aazczy znowe.

O Zadanie 12.4

Napisać równania ogólne i parametryczne płaszczyzn spełniających podane warunki:

a) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (1,— 2,0) i jest prostopadła do wektora n = (0, —3,2);