8 (8)

134

7. Ciągi i szeregi funkcyjne

Jest widoczne, że każda funkcja wchodząca w skład rodziny jednakowo ciągłej na £ jest jednostajnie ciągła na E.

Ciąg z przykładu 7.21 nie stanpwi rodziny jednakowo ciągłej.

Następujące dalej twierdzenia 7.24 i 7.25 pokażą, że istnieje ścisły związek między pojęciami jednakowej ciągłości z jednej strony a zbieżnością jednostajną ciągów funkii ciągłych z drugiej. Najpierw opiszemy jednak procedurę polegającą na wybieraniu pewnych podciągów; która nie pozostaje w żadnym związku z ciągłością.

i 7.23. TWIERDZENIE. Jeżeli {f„} jest ciągiem funkcji zespolonychokreślony’ch#0przęlpza]i? nym zbiorze E, i mającym własność, że zbiór Wartości przyjmowanych w dowolnym ustalonym punkcie E przez funkcje | ff\ jest ciągiem ograniczonym, to istnieje podciąg {£} taki, że dla każdego xe E ciąg    jest ^bieżny:!

Dowód. Niech {*<}, i = 1,2,3,..., będą punktami zbioru E ustawionymi w ciąg. Ponieważ ciąg {/„ (xj)} jest ograniczony, więc istnieje podciąg, który oznaczymy przez {/_lt} taki, że ciąg {/_u(xj)} jest zbieżny przy k-*<x>.

Rozpatrzmy teraz ciągi S_lt'■które napiszemy w postaci macierzy nieskończonej

Sl '• ft l fil fl 3 fi4    — aa

S2: fu fiz fu fz4    —

Si- fu fiz fu fu —

Ciągi te mają następujące własności:

a) S_n jest nieskończonym podciągiem ciągu S„_ _t przy n =? 2,3,...

hj Iźiisfo)} jest przy ciągiem zbieżnym (ograniczoność punktowa ciągu umożliwia wybranie podciągu S„ o tej własności);

c) zachowana jest kolejność funkcji, w której występują one w następujących po sobie podciągach, tj. jeżeli jakaś funkąja występuje,wcześniej niż inna w ciągu S,, to podobnie będzie we wszystkich ciągach S„ aż do miejsca, gdy któraś z funkcji zostanie przy wybieraniu podciągu pominięta. Posuwając się zatem w dół wzdłuż ustalonej kolumny, otrzymujemy funkcje występujące w ciągu* {j^} na coraz dalszych miejscach.

Będziemy teraz posuwać się po przekątnej naszej macierzy, tj. rozpatrzymy ciąg

S- fu fu fu f*4

Zgodnie z c) ciąg S jest (z wyjątkiem być może pierwszych «— 1 wyrazów) podciągiem ciągu S„. Zatem z b) wynika, że ciąg (f_m(x_t)} jest przy n-*oo zbieżny dla każdego ustalonego IMiiliym

7.24. TWIERDZENIE. Niech K będzie zwartą przestrzenią metryczną, f^e^iK) dla n =1,2, 3,... Jeżeli ciągnij jesc zbieżny jednostajnie na K, to-Ąjff jcst rodziną jednakowo ciągłą na K.

Dowód. Niech e > 0. Istnieje więc liczba naturalna N, że (42)    tótppll (n > JV.).

Ponieważ funkcje ciągłe są ciągłe jednostajnie na zbiorach zwartych, więc istnieje takie 8 > 0, że 4