alg ter 2

04-09.2013

ALGEBRA 12/13 - Egzamin - Termin 2

Zad 1) [lOp] a) Rozwiąż układ równań w zależności od wartości parametru p G R:

px+    y+    pz    =    1

I    x+    y+    z    =    1

(2 - p)x+ (2 - p)y+    z    =    1    '

px+    y+    pz    =    p²

b) Wyznacz wszystkie wartości parametru pER, dla których:

Lin{(p, 1,2-p,p)\ (1,1,2-p, 1); (p, 1,1 ,p); (1,1, l,p²)} C Lin{(p, 1,2-p,p)\ (1,1,2-p, 1); (p, 1, l,p)}. Odpowiedź uzasadnij.

Zad 2) [lOp] Dane są punkty A = (2, —1,1), B = (3, —3,3), C = (1,3, —2) G R³.

a)    Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny 7r zawierającej punkty A, B,C.

b)    Wyznacz równanie parametryczne prostej l przechodzącej przez punkty A i D, gdzie D jest (dowolnym) punktem o odległości 3 od płaszczyzny 7r takim, że B jest rzutem prostokątnym punktu D na płaszczyznę 7r.

c)    Wyznacz miarę kąta między prostą l i płaszczyną 7r.

d)    Wyznacz objętość czworościanu ABCD.

Zad 3) [lOp] Rozwiąż równania w dziedzinie zespolonej:

a)    M³=(l + *f)⁹,

b)    (1 + i)(z)³z⁶ = (8 — 8i)|z|⁶, stosując odpowiednią postać liczby zespolonej z. Rozwiązania podaj w postaci algebraicznej.

Zad 4) [lOp] Niech / : R[a;]2 —* R[a;]2 będzie odwzorowaniem takim, że: (f(w))(x) = (x — 1 )²w"(x) — (2x — 2)w\x) dla każdego w G R[:r]2-

a)    Wykaż, że / jest endomorfizmem.

b)    Wyznacz Ker/, Im/ oraz ich bazy i wymiary.

c)    Wykaż, że R[£]₂ = Im/ 0 Ker/.

Zad 5) [lOp] Niech / : R³ x R³ —> R będzie formą dwuiiniową przyjmującą dla dowolnych x 5= (x₁,x₂₎x₃),y = (2/1,3/2,2/3) € R³ wartość:

/(x, y) = 3x₂y₂ + 3x₃y_s + 4ziy₂ +    + 4x₂y₃ ~ 6x₃y₂-

a)    Wyznacz formę kwadratową g : R³ —> R generowaną przez formę / oraz macierz A formy g w bazie kanonicznej Bk.

b)    Metodą przekształceń ortogonalnych, znajdź ortonormalną bazę Bo, w której forma kwadratowa g ma postać kanoniczną.

c)    Podaj macierz tej formy kwadratowej w wyznaczonej bazie Bo i przy jej pomocy

wyznacz g    --J.).