anal0008

s>esufi -zimonA JŁ&oć)*.)

Osą ' ^

.1

JO

+

ANALIZA MATEMATYCZNA scm. 1. EGZAMIN (1.02.2006) Imię i nazwisko__

? rffXj{ Sformułować twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym. Korzystając z niego uzasadnić zbieżność

i 1    2__2(^.5 ap*.    bn* z k ⁺

^*0 mon .    ₌

je^t    ciągu, ci_n

Jo.

+......+

2 + 1 2² +1 2ⁿ +1

Podać definicję ciągłości funkcji w punkcie. Określić wartość funkcji f(x) =

e*-l

w punkcie

S/W

x_n = 0 tak, aby funkcja/ była ciągła w tym punkcie.

(3^ Wyznaczyć równanie różniczkowe liniowe jednorodne o stałych współczynnikach możliwie najniższego

rzędu jeżeli Liczby \ - /,    = 0 są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego tego równania. ^

Podać rozwiązanie ogólne, fundamentalny układ rozwiązań oraz sprawdzić liniową niezależność funkcji “ tego układu

________{_}_—--f ż _|V nr'*?’”__

zbieżność warunkową* bezwzględną szeregu / ^rlj —₁ —=-

n=ł    2+1

4- 5. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = COs(crrcig(ln x)) w punkcie (l, TY U) -

. 1

^^Roz>viązac-rowmnic y r~y‘tg l - —^j

COS X

(i , 0

HUsrr&^C. O oo    sn-o &=>

ANALIZA MATEMATYCZNA scm. 1. EGZAMIN (1.02.2006)

Imię i nazwisko

grupa

i-

'Z

° +•

Q Wykazać, że ciąg o wyrazach ujemnych nie może być zbieżny do liczby dodatniej. Obliczyć granicę ciągu

/ ,- r-\ I \    "

b„=\J^7\-sfc) n-h-

ł

-^”{^2?) Sformułować twierdzenie o wartości średniej (Lagrange'a). Korzystając z niego uzasadnić nierówność:

^==> Vx₆(0.1    )^<arcsmx<jL=,^    ,

^3?) Wyznaczyć równanie różniczkowa liniowe jednorodne o stałych współczynnikach możliwie najniższego

rzędu, jeżeli wiadomo, że funkcje y_} (x) = e¹, y₂ ( x) = X są rozwiązaniami tego równania. Znaleźć ^ rozwiązanie szczególne spełniające warunki początkowe: y(0) = 4, y(0) = 3, y”(Q) = 2 .

OD

4^ Zbadać zbieżność warunkową i bezwzględną^sżeregu

/»—1

•f* 5. Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji    f(^x)~xarctgx

6.—Rozwrtązatrrównanić j/' — 2xy = 3x’<

iU

JijrA

fa-rm,

Xr*Co

Iptccc.