analiza mat1

Egzamin z analizy matematycznej 23.6.2010r.

KAŻDE ZADANIE PROSZĘ ROZWIĄZAĆ NA OSOBNEJ KARTCE. ŻYCZYMY POWODZENIA!!!

^Zadanie 1. (4 piet.) Proszę zbadać zbieżność catki niewłaściwej

Ii<»»'* **

^Zadanie 2. (6 pkt.)

a)    Proszę sformułować twierdzenie o funkcji uwikłanej z(x,y) opisanej przez równanie F(x,y,z) = 0.

b)    Proszę wykazać, że równanie

z² + iz - y² + 2z - xy - 4 = 0

wyznacza dokładnie jedną funkcję uwikłaną 2(2, y) w otoczeniu punktu (1,2,3).

d²z    F m!

c) Proszę obliczyć —.-(1,2).    '    ' s

dxdy    T-_s{

/.Zadanie 3. (4 pkt.) Proszę metodą mnożników Lagrange’a znaleźć ekstrema funkcji

f(x, J/, z) = 2a:² + y² + 2z²    -    _ 5* _

'% ■ '' 'i

pad warunkiem xy + yz — 1 = 0.    j,    *

■\ { ’ '■ "t

^Zadanie 4. (5 pkt.) Niech odwzorowanie / : K² —* R² będzie dane wzorem

f(x, y) = (e* cos?/, c* sin ?/).

-lcd^V/"

-L.

r

■ s\

Proszę

a)    sparwdzić czy / jest lokalnie odwracalne w każdym punkcie płaszczyzny,

b)    sprawdzić czy / jest globalnie odwracalne,    —

c) obliczyć pochodną odwzorowania f~^l w punkcie /(O, f).    ^Ł>v-

^Zadanie 5. (6 pkt.)

a)    Proszę podać definicję różniczkowalności funkcji / : R" —> R w punkcie x° 6 R".

b)    Proszę zbadać różniczkowalność funkcji

dla (x,y) ^ (0,0) 0    dla (ar, y) = (0,0)

w punkcie (0,0).

Wszystke zadania warte są pięć punktów. Proszę wybrać tylko 5 zadań do rozwiązania. Życzę powodzenia!!!

Zadanie 1. Proszę aszkicować dziedzinę naturalną funkcji, a następnie określić, czy jest ona zbiorem otwartym, domkniętym, ograniczonym.

■«^{) =} arC8in    +ln 0^/~*² + i)

, /yA <2.

f(x.

VZadanie 2. Proszę wyznaczyć równania płaszczyzn stycznych do wykresu funkcji zadanej równaniem

. ■?

/(z, y) = 2arctg x + xy²,    v. „

które są prostopadłe do prostej = !iid = łxl.

Zadanie 3^a) Proszę obliczyć pochodną; kierunkową funkcji f(x, y, z) = xy^lz³ w punkcie (3,2,1) w kierunku wektora v = (|,    ^    , ₍

b) Proszę zbadać różniczkowalność funkcji

{i •’+/ 0 ⁺'

dla (x,y) ^(0,0)

dla (a;, y) ^ (0,0).

' Zadanie 4. Proszę napisać wzór Taylora z resztą Rj dla funkcji

<jte

/(i, y) = xe^x+v*

’i    Ł

w punkcie (—1,1)

i 'i ¹ 1

tJZadanie 5. Proszę znaleźć wszystkie ekstrema lokalne funkcji    ₍ ‘i, 'i >

y²    2

/(x, y, z) = x + 7- +--h - x > 0, y > 0, z > 0.

4 x y z

Zadanie 6. Korzystając z reguły różniczkowania funkcji złożonych proszę obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu względem x i y funkcji

«+r

z = /(u, v) = ln

gdzie u = zsiny, v = xcosy.