Capture073

Przykład obliczania r na podstawie lego wzoru podaje tabela 8.2.

Pierwsze dwie kolumny tabeli 8.2 zawierają pary pomiarów X i > k te zostały zsumowane i podzielone przez N w celu otrzymania średnich V Kolumna 3 zawiera odchylenia od średniej zmiennej X. a kolumna 4 .nkli, t*d średniej > Kolumny 5 i 6 zawierają kwadraty tych odchyleń Kolumn.., zostały zsumowane w celu uzyskania 2»r i Sr Kolumna 7 zawiera iloczyny , Została ona zsumowana w celu uzyskania Svy. Współczynnik korelacji w przykładzie wynosi +0.58.

ruhrLi K.2. Oblic/anic współczynnika korelacji w. przypadku danych nic pogrupowanych / u/,.

odchyleń

1	[-5-	7	4	5	6
V	»■	j	y	ł2	>^;
	i	-i	-3	1	9	*?
10	6	♦4	♦2	16	4	*«
5	2	-1	_2	1	4	♦2
II	K	♦5	+4	25	16	*20
12	5	*6	+1	36	1	*6
*	1	_2	-3	4	9	♦6
3	4	-3	o	9	0	0
2	6		+2	16	4	-Ji
7	5	♦1	♦ 1	1	1	*1
^1	y ~ .	-5	_2	25	4	♦ 10
60	40	0	0	134	52	4S
X = 6.0	r= 4.o			I**	Ly^2	Ły
1	48 ^3 vfVx <:	= +Ó.58

W niektórych sytuacjach warto stosować wzór na współczynnik korelacji wyników surowych, czyli operujący pomiarami pierwotnymi. Wzór ten jest iuv; pujiicy:

. ____NIXY- IXIK

' IX^ (IX)²] [N1Y² -(LYp)

Czytelnik zechce zwrócić uwagę, że stosowanie tego wzoru wymaga postu/, nia stę. oprócz N, pięcioma członami; IXK, IX². IK\ IX i IY. W praktyce dysponujemy kalkulatorem, wzór ten, albo jakaś prosta jego odmiana, jest chr. najłatwiej.szym wzorem na obliczanie współczynników korelacji.

Przykład stosowania wzoru na obliczanie współczynnika korelacji dla u>’ ków surowych przedstawia tabela 8.3. Pierwsze dwie kolumny tej tabeli zawiera:: pary pomiarów A i ł Kolumny te zostały zsumowane w celu otrzymania IX i li Kolumny 3 i -I zawieraj!} kwadraty pomiarów. Zostały one zsumowane w cci. uzyskania IA i Ił*. Kolumna 5 zawiera człon iloczynowy XY. Suma tej kolum: to IX). Korelacja wynosi + 0.58. co potwierdza wartość otrzymaną popr/edr metodą na podstawie odchyleń.

8.9. Korelacja i regresja

dla wyników standardowych

W kategoriach wyników standardowych korelację i regresję można /definiować bardzo prosto jako sumę iloczynu wyników standardowych podzielonych przez N - I. Zatem

(8.14)

_r = ^I'^V-’ . ^r N-1

gdzie = (X - X)/s_i,    a s, i j, są odpowiednio nic obciążonymi

wskaźnikami o, i o_v. Łatwo zauważyć, że wielkość I:,:, jest miara związku między dwiema zmiennymi. Jeżeli wszystkie wartości z, i leżą dokładnie na Unii prostej o nachyleniu dodatnim, to każda wartość będzie równa każdej wartości ;_r W takiej sytuacji z_k - z_r a Z^Z, = z\ = z;. Stad 1:^, =    = 1“ Wielkość

₌    = jy - I, jak to wykazano w podrozdziale 5.8. Zatem w takiej »>tuacji

r - I. W sytuacji odwrotnej, mianowicie gdy wszystkie wartości i leża dokładnie na linii prostej o nachyleniu ujemnym, to ka/da wartość będzie miała tę samą bezwzględna wartość liczbową co :_v lecz przeciwny znak Stad suma iloczynów wyników standardowych będzie wynosiła    co. jak można łatwo wyka

zać. równe jest -<jV - I). Wówczas r = -l. Jeżeli wszystkie wartości i m uporządkowane losowo i nic wykazują żadnego wzajemnego systematycznego związku, to oczekiwana wartość I:,c, = 0. a więc r = 0.

Jeżeli pary wyników standardowych przedstawimy na wykresie jako dwie linie regresji dopasowane do danych, to równania dla tych linii będą następujące

145