Capture096

suma kwadratów odchyleń od średniej arytmetycznej podzielona p,_/lV -topm swobody. Pojęcie stopni swobody wymaga dalszego, dokładniej ./ I wierna

Jak powiedziano i zilustrowano na pr/ykład/ie w rozdziale S. |_Kvhi , swobody jest to liczba wartości zmiennej, które mogą się swobodnie Pomian 10. 14. 6. 5 i 5 przedstawione jako odchylenia od średniej m.,_:. ., I ♦2. fb. -2. -3 i -3. Suma tych odchyleń równa jest 0. W rezultacie, jc/.-i, I czter> spośród t>ch odchyleń, pozostałe, piąte, jest zdeterminowane l.u/h, I swobody wy nasi tu 4.

Tego rodzaju sytuację można przedstawić za pomocą symboli Niech \ I .V, beda trzema pomiarami o średniej X. Suma odchyleń wynosi (A', V» . ,\

- Xf ♦ (X, - X) = 0. Jeżeli X i którekolwiek dwie wartości A s.j znane j,. _:r I wartość A jest zdeterminowana. Liczba stopni swobody wynosi tu 2 l)«>oh ,._v. I wariancji i odchyleń standardowych potrzebna jest suma kwadratom <>d,hv _rr . I średniej. I(A - X)\ Suma la obejmuje N - I wartości, które mogą mv su, \. zmieniać niezale/.mc od siebie. Liczba stopni swobody z.wiązana z Minuj Uj,y.- , wynosi N - 1. Dzieląc te sumę kwadratów przez związany z niy Ik/K. swobody, w odróżnieniu »xl liczby pomiarów, otrzymujemy me obciążone.......

wame wariancji w populacji o‘. Stopnic swobody często oznacza mc miuN

Liczba stopni swobody zależy od charakteru problemu. Pizy dopjM.A. . linii do seni punktów metoda najmniejszych kwadratów liczba stopni v,. ., zwia/ana /. suma kwadratów odchyleń od linii wynosi N - 2. Jeżeli punku - t , dwa. to obejmuje je dokładnie lima prosta i wówczas suma kwadratów . od linii wynosi oczywiście 0. Nie jest tu możliwa żadna swoboda zmieni.:: o Przy trzech punktach <// = 1. przy piętnastu tlf - 13 Równanie linii prosie; wzór )’ = bX ♦ a. gdzie /> określa nachylenie linii, a — punkt, w którym pr/c. u ona oś Zarówno o. jak i b szacujemy na podstawie danych. Można powie I ze na oszacowaniu /> i <? na podstawie danych tracimy 2 stopnic swob<xl\ Je.: znane sy b. u i którekolwiek spośród N - 2 odchyleń od linii, to pozostałe e*; odchylenia sy zdeterminowane.

Pojecie stopni swobody ma interpretacje geometryczny. Punkt na linii nu >.•« bodę przesuwania s«e tylko w jednym wymiarze i ma I stopień swobody 1‘ ■ na płaszczyźnie ma swobodę przesuwania się w dwóch wymiarach nu 2 Mu; • : swobody. Punkt w przestrzeni trójwymiarowej ma 3 stopnie swobody Pod^n: punkt w przestrzeni ^ wymiarowej ma k stopni swobody. Ma on swobodę pr/c. wania się w k wymiarach.

Pojecie stopni swobody jest szeroko stosowane w statystyce i będzie w a s/ym ciqgu omawiane w związku z tabelami zbieżności i analiza wunaneii I'^- ■ jego jest prosta Liczba stopni swobody jest zawsze liczby wartości, które r . się swobodnie zmieniać przy ograniczeniach nałożonych na dane. Wydaje mc intuicyjnie oczywiste, że przy badaniu zmienności powinniśmy zajmować się li-'* wartości, które mogy sic swobodnie zmieniać w obrębie ograniczeń, jakie nu sobie sytuacja problemowa

dłu średnich /. prób dużych

|0.5. IWdzisiły ufności

^.iManie przedziału ufno<ci dla redm, i r>nm „ ,

Jest W powszechnie stosowany wzór na oszacowanie błęJu standardowego średni _C)

arytmetycznej.

Rozważmy teraz stosunek : = (.?- Uri, Stosunek ten _Km odchvlen.cm sredn.c, l próby od średniej z populacji podzielonym przez oszacowanie odchslen.a standardowego rozkładu /. próby. Jest to wynik standardowy Pm zalo/etuu normalności _; mo/na poprawnie powiedzieć, że istnieje prawdopodobieństwo 0.95. ,/ prawdziwe jest następujące twierdzenie:

Nierówność ta określa przedział ufności w kategoriach wyników >tan-dardowych. W istocie jest to stwierdzenie, ze istnieje 95 szans na su>! ze (.V - pi/_t mieści się między ±1.96. Zwykle jednak nic interesuje nas przedział ufności w kategoriach wyników standardowych, lecz w kategoriach wyników surowych Aby przekształcić tę nierówność tak. by odnosiła się do wyników surowych, mnoży my wszystkie człony przez s; i dodajemy do nich X. otrzymując:

(10.6)

Jest to stwierdzenie, że istnieje 95 szans na 100, że p mieści się między X t 1.%*,. zatem gonią granicę Stanowi tu 1.96 jednostek odchylenia standardowego powyżej średniej z próby, a dolną granicę 1.96 jednostek odchylenia standardowego poniżej średniej. Liczba 1,96 bierze się stąd. jak Czytelnik zapewne pamięta, ze 95 procent powierzchni pod krzywą normalną mieści się w granicach ± 1.96 jednostek odchylenia standardowego od średniej.

Jako przykład ustalania przedziałów ulności rozpatrzmy następującą >ytuację Niech średni iloraz inteligencji w grupie KM) uczniów szkoły średniej wynosi 1 U. a odchylenie standardowe 17. Odchylenie standardowe jest tu pierwlastkiem kwadratowym ł nic obciążonego oszacowania wariancji. Nasze oszacowanie błędu standardowego średniej wynosi a^-, = 17/VlÓ0 = 1.70. 95-proccntowy przedział ulno-ści otrzymujemy więc. wykonując działanie: 114 i 1.96 x 1.70. Guma granica wynosi 117,33. a dolna granica 110.67. Możemy więc twierdzić z 95-procentową ufnością, ze Średnia w populacji mieści się w tych granicach. 99-procentowe gra-