waftofW td' wyrażona jol w-zorm,
ŁiL
. A liczbami «MWWUy«»l L : ' N 1 okri*sla ,
suwie następująco:
fcjefl, X mc daje w efekcie większej wam*, U Mo/,u «>ka/* k
ii \ uiu.MiKij IcnI u/<ifrn.
3
(2IJi
_ N{N+ |) 2
h rangi w /dresie y v» uporządkowane względem X lowwo.
J.waiu Kst równi* P° pf,,stu ł**™* Li~‘ crjh
6
wvuńć
£(Sd:)
ai.4)
21.3. Miary inwersji
Przyjmijmy, zc mamy W jednostek. A,, A;. A}.....AN, uporządkowani.r
pod względem dwóch zmiennych. X i Y. Rangi w zakresie V o/nacź, \ I
X,......Yv, a rangi w zakresie Y oznaczamy >',. Y:. )\..... )\ Niech ran:
jednostek w zakresie X i Y będą następujące:
X I 2 3 4 5 >14 3 5 2
Rangi w zakresie zmiennej X występują w porządku naturalnym N,: w zakresie zmiennej Y nie występują w porządku naturalnym WęU-.., wieri stopień inwersji względem X. Jak w tej sytuacji można /defin> inwersji?
Jedną z powszechnie stosowanych miar inwersji jest suma kwadra I między parami rang. Wielkość tę można określić symbolem L1 w ■ I kładzie UX - Y)'■ = U2 = (O)2 ♦ i-2)2 ♦ (0) 4- (-I)-’ + (3r = U War. r.-M uwagę na największą i najmniejszą wartość Id2. Gdy elementy są a>/er:c . I w tym samym porządku zarówno w zakresie zmiennej X. jak i zmienne ) - | czas Zif = 0. Jest to wartość najmniejsza A więc gdy rangi w zakres: 1 uszeregowane w porządku I. 2. 3. 4. 5 i w zakresie Y również -a us/creę *a| w porządku I, 2, 3. 4. 5. wówczas wszystkie różnice równe >.» 0 Jc/cii uszeregowane są w porządku odwrotnym względem siebie, to stopień nv I największy i zarazem wartość Z*l2 jest największa. A zatem jc/cli rangi » I X są uszeregowane w porządku 1.2.3. 4. 5. a w zakresie > w por/#* • •
2. I. różnice d wynoszą -4. -2. 0. 2 i 4. a wartość L/ : = 40 Żaden mn\
Średnia / liczb całkowitych I. 2. 3.....W równa jest X = i,v . , n |
zaś. otrzymana przez podzielenie sumy kwadratów odchyleń od -roj , 4 wynosi s: = (N2 - I)/I2. Średnia jest prosta funkcja wariancji \ < ? Znajomość tych zależności bywa czasami bardzo przydatna
Suty styka U2 jest tylko jednym /. możliwych iposofcm zdcfu»Mw*u mar inwersji-
Inną miara inwersji jest statystyka S. Rozwa/my znowu por. rm; w ukrcuc zmiennej X I. 2. 3. 4. 5 i w zakresie zmiennej >1.4. 3. 5. 2 ‘fcmgi w zakresie X występują w porządku naturalnym, natomiast rangi w zakresie )' wykazuj pewien stopień inwersji względem X. Aby obliczyć S. porównujemy każda rangę w zakresie Y ze wszystkimi pozostałymi rangami. Przy V rangach pon.wnai uiuch jest SiN - I d2 Jeżeli dana para ma rangi w porządku rururaJnym. na przykład I 14. przypisujemy jej wagę -fi. Jeżeli natomiast ma ona rangi w porządku odwror-n>m. na przykład 4 i 3.10 przypisujemy jej wagę -I. Sury styka 5 jest wimą ukwh wag z Al(N — IV2 porównań W naszym przykładzie wagi wynoszą +-J. ♦!. +t. *.j -1. +1, -1. +ł. -I- — 1, a 5 = 2. Przyjrzyjmy się największej 1 najmniejszej wanośd 5. Wartość największa pojawia się. gdy oba zbiory rang są uszeregowane w porządku naturalnym, czyli gdy wszystkie wagi są równe +1. 1 wynosi NV.V - 1 iC Natomiast najmniejsza wartość 5 pojawia się. gdy oba zbiory rang są uszeregowane w porządku odwrotnym względem siebie, czyli gdy wszystkie wagi *ą równe -1.
1 wynosi -MW - 11/2. Gdy rangi są uporządkowane względem Niebie losowo.
rangowej, a także do wiciu innych celów
Miara inwersji. Zd2, występuje w definicji współczynnika korelacji rangowej. Współczynnik korelacji rangowej jest statystyką zdefiniowaną w taki 'posób. zc przyjmuje wartość +1, gdy pary rang są uszeregowane w tym samym porządku, wartość -1. gdy są uszeregowane w porządku odwrotnym względem siebie, ora. wartość oczekiwaną 0. gdy rangi są uporządkowane względem siebie losowo Definicja korelacji rangowej spełniająca te wymagania jest następująca
2 Ul
0 = 1 ■
(21.5)
nu»
434
435