CCF20090120107

czym należy znaleźć odpowiadające temu wyrażeniu y\ Trzeba by tu wykonać szereg działań. Punktem wyjścia jest x; następnie musimy obliczyć x² i do wyniku dodać 1, aby otrzymać (x² + l). Następnie trzeba x podzięlie przez otrzymany wynik. Rezultat dzielenia trzeba podnieść do trzeciej potęgi.

Zagadnienie znalezienia y' rozwiązujemy etapami. Wprowadzamy nowe litery i wykonujemy działania pośrednie. Obliczając y musieliśmy najipierw obliczyć a?²+l. Oznaczmy ten pierwszy wynik przez u. A zatem u — x² + l. Jak szybko rośnie ul Wiemy to z naszych poprzednich rozważań: u ~ 2x. Następnie obliczamy

. Oznaczmy wynik tego dzielenia przez v; X

mamy więc v —--Wiemy, że u rośnie w tern-

u

pie u, a X w tempie 1. v otrzymujemy dzieląc x przez u. Ponieważ znamy x i u, wiemy, jak szybko te wielkości rosną, więc nie powinno być zbyt trudne znalezienie, jak szybko rośnie v. Przypuśmy, że problem ten rozwiązaliśmy i jako wynik dostaliśmy v. Doszliśmy do etapu końcowego: y otrzymuje się podnosząc v do trzeciej pOtęgi, tj. y = v³. Wierny że y jest równe v³, a v rośnie w tempie v. Jak szybko rośnie yl Nie rozwiązaliśmy jeszcze problemu. Pokazaliśmy jedynie, że skomplikowany problem można rozbić na trzy problemy prostsze: I. Znaleźć

X

u, gdy u — x^2Jrl. II. Znaleźć v', gdy

a u' jest znane. III. Znaleźć y', gdy y = u³, a v jest znane. Ponieważ skomplikowane problemy można w porwyższy sposób sprowadzać do problemów prostszych, w każdym podręczniku rachunku różniczkowego znajdują się twierdzenia dotyczące różniczkowania sumy, iloczynu, ilorazu oraz funkcji funkcji (funkcji złożonej).

Wszystkie te twierdzenia mają na celu umożliwienie obliczenia y', gdy y dane jest dowolnym, choćby bardzo skomplikowanym wzorem, przez sprowadzenie tego problemu do kilku problemów prostszych.

RÓŻNICZKOWANIE SUMY

Rozpatrzmy przykład wzrostu cen. Niech y£ oznacza cenę zegarka rosnącą w tempie y' po upływie x dni wojny, a z£ cenę łańcuszka (rosnącą w tempie z). Jak szybko rośnie cena zegarka z łańcuszkiem? Oczywiście: y + z'. Ponieważ cena zegarka z łańcuszkiem wynosi (y~\~z)£, więc łatwo znaleźć tempo wzrostu sumy dwóch zmieniających się wielkości.

RÓŻNICZKOWANIE ILOCZYNU

Niech n będzie liczbą ludzi w mieście, a p liczbą litrów płynów, wypijanych codziennie przez każdego człowieka. Wówczas np będzie całkowitą liczbą litrów wypijanych codziennie. Jak szybko wzrasta np, jeżeli n rośnie w tempie n, a p w tempie p'. Odpowiedź brzmi: p'n-\rnp.

RÓŻNICZKOWANIE ILORAZU

Jeżeli dla n ludzi dostarcza się b beczek piwa,

to każdy z nich otrzyma — beczki. Jak szybko

.    . b    ⁿ

zmienia się —, jeżeli liczba ludzi wzrasta w tem-n

pie n, a liczba beczek w tempie b'? Okazuje się,

217