CCF20090120116

W ten sposób moglibyśmy zbudować zwierciadło, które tworzyłoby wiązkę prawie równoległą. Im krótszych kawałków zwierciadła użyjemy, tym doskonalszą wiązkę równoległą otrzymamy. Szybko dochodzimy do wniosku, że istnieje taka krzywa, która odbija światło dokładnie we właściwym kierunku. Krzywą tą jest parabola. Zwierciadło o takim kształcie nosi nazwę zwierciadła parabolicznego. Zwierciadła takie stosuje się w pewnych typach teleskopów.

Zauważmy, jak zbudowaliśmy nasz łańcuch odcinków OABCD... Zaczynaliśmy od punktu O, a następnie przy każdym kroku wiedzieliśmy, w jakim iść kierunku. Każde zagadnienie, w którym wychodzi się z pewnej reguły dotyczącej kierunku, w jakim należy się posuwać w każdej chwili, prowadzi do równania różniczkowego.

Na przykład, statek na morzu zmierza prosto w kierunku latarni morskiej. Może on rozpocząć swój rejs w dowolnym punkcie, ale gdy zacznie płynąć do latarni, jego kierunek został już ustalony. Można by powiedzieć, że latarnia morska jest magnesem przyciągającym statek; w tej terminologii statek porusza się wzdłuż „linii sił”. Problem stałby się • bardziej skomplikowany, gdybyśmy mieli dwa magnesy, z których każdy przyciągałby poruszające się ciało. Droga ciała nie byłaby wtedy tak oczywista, jak to było w przypadku statku i latarni morskiej. W teorii elektryczności i magnetyzmu trzeba uciec się więc do pomocy równań różniczkowych.

Jak wygląda równanie różniczkowe w symbolach algebraicznych? Znamy regułę podającą kierunek krzywej w każdym punkcie. Równie dobrze moglibyśmy powiedzieć, że znamy regułę podającą stroimość krzywej w każdym punkcie. Otóż stromość krzywej (wyznacza y', a położenie punktu na wykresie podają dwie liczby, x i y. Każdemu punktowi odpowiada pewien kierunek; można to sobie (wyobrazić w ten sposób, że 'kartka papieru, na której mamy sporządzić wykres, pokryta jest małymi strzałkami, drogowskazami przekazującymi zlecenie: „Jeżeli dojdziesz do tego punktu, idź dalej w tym kierunku”. Posuwając się ciągle zgodnie z kierunkowskazami, zakreślilibyśmy pewną krzywą. Drogowskazy ustawione są zgodnie z pewną regułą; jeżeli mamy jakikolwiek punkt (odpowiadający pewnym dwóm liczbom x i y), to znamy także regułę wyznaczającą kierunek drogowskazu; ale stromość strzałki Określa y'. A zatem y' otrzymujemy na podstawie pewnej reguły, tj. możemy otrzymać wzór podający y', gdy znane są wartości x i y.

Jeżeli np. latarnia morska znajduje się w jakimś punkcie (0, 0) i wszystkie statki żeglują prosto w jej kierunku, to wzór ten ma postać V

y'~~- Albowiem stromość prostej¹ łączącej dowolny punkt (a:, y) z punktem (0, 0) wynosi “ i y' musi być równe tej wielkości.

Przytoczone tu rozumowanie będzie trudne dla Czytelnika, który nie zna geometrii analitycznej. Przed przystąpieniem do przerabiania teorii równań różniczkowych należy opanować' wstępny dział geometrii analitycznej (nanoszenie punktów, stromość linii prostych, kąty między prostymi, odległość dwóch punktów, równanie koła).

PRZYKŁADY

Materiał tego rozdziału został podany zbyt szkicowo, aby można było umieścić w nim przykłady. Czytelnik, który zrozumiał ogólne zagadnienia tego rozdziału, znajdzie przykłady w dowolnym podręczniku rachunku różniczkowego i całkowego.

235

1

Przez stromość prostej autor rozumie tangens kąta nachylenia tej prostej do osi x (przyp. tłum.).