CCF20090120127

cza to samo, co (cos A)². Stosując tę symbolikę nie musimy używać tylu nawiasów.

Zauważmy, że b² występuje w powyższym wzorze dwukrotnie. Najpierw mamy b² pomnożone przez sin² A, a następnie b² pomnożone przez cos²A. Łącznie b² jest więc pomnożone przez sin²A+cos²A, co jest równe 1. Stąd wynika, że

a² = b²+c²—2b cos A;

jest to postać, w której wzór ten podaje się w podręcznikach i z której korzysta się przy rozwiązywaniu zadań.

Podaliśmy tu przykład sposobu, w jaki można upraszczać wzory korzystając z własności sinusa i cosinusa. Poprzednio obiecaliśmy podać taki przykład.

WZORY NA DODAWANIE    f

Zajmiemy się obecnie pewnymi wynikami, j które otrzymuje się w naturalny sposób w zwią- 1 zku z zagadnieniem sporządzania tablic i które J ponadto są przydatne dla pogłębienia ogólnej 1 wiedzy o trygonometrii.

Przypuśćmy, że chcemy sporządzić bardzo do- ' kładne tablice sinusów i cosinusów, że (wielkim nakładem pracy i pieniędzy) skonstruowaliśmy ogromne trójkąty i znaleźliśmy dokładne warto- 1 ści na sin 1°, cos 1°, sin 10° i cos 10°. Można by j postępować nadal w ten sam sposób, konstruując | nowe trójkąty i znajdując w drodze pomiarów j sin 11°, sin 12° itd. Praca ta przeprowadzona    I

na dużą skalę byłaby bardzo kłopotliwa. Najpro-    j

ściej jest zauważyć, że 11° to 10°+ 1°, Czy moż- | na skorzystać z tego faktu i znaleźć sin 11° na \ drodze rachunkowej, wychodząc z tego, co wie- \

■l

1

256    i

i

my o 10° i 1°? Jeżeli to nam się uda, będzie to bardzo wygodne, gdyż ta sama metoda da nam informację o 12°, ponieważ 12° — 11° + 1°, i będziemy mogli to kontynuować jak długo będziemy chcieli.

Nasz problem jest następujący: znaleźliśmy przez dokonanie pomiarów, że sin 1° — 0,01745, cos 1° = 0,99985, sin 10° = 0,17365, cos 10° = = 0,98481. Ile wynosi sin 11° i cos 11°?

Główna trudność polega tu na sporządzeniu rysunku, który by dostatecznie jasno przedstawił odpowiednie fakty. Dość łatwo narysować kąt 10°, a następnie odłożyć kąt 1°, tak jak na ryc. 48. Ilustruje to fakt, że 11° = 10°+ 1°. Ale to niewiele nam mówi o 10° i 1°. Musimy przyjąć na wiarę, że kąty zaznaczone jako 10° i 1° mają w rzeczywistości 10° i 1°. Na rysunku nie ma niczego, co by nam o tym mówiło; nie ma zwłaszcza niczego, co wiązałoby te kąty z wielkościami sin 1°, sin 10° itd. (Faktycznie, dla wyrazistości należy kąty narysować raczej większe, niż są one w rzeczywistość¹!.)

Chcemy uwypuklić fakt, że BOC jest kątem (wielkości 1°), którego sinus wynosi 0,01745, a cosinus 0,99985. Aby to uczynić, musimy wprowadzić trójkąt prostokątny. Weźmy punkt D w odległości 1 od p-unktu O i narysujmy odcinek

257

17 Matem, nauką przyj.