CCF20090120129

RÓŻNICZKOWANIE SINUSA I COSINUSA

Często zdarza się, że sinusy i eoisinusy występują w zadaniach dotyczących ruchu jakichś mechanizmów, drgań pewnych obiektów czy zmian natężenia prądu elektrycznego. We wszystkich tych zagadnieniach chodzi o zmianę prędkości, a więc prowadzą one do różniczkowania. Warto więc zastanowić się nad pytaniem: jak szybko zmienia się sin t i cos t, gdy zmienia się t?

Zbadamy to zagadnienie na modelu przedstawionym na ryc. 44. Zakładamy, że punkt P startuje z punktu A i porusza się po Obwodzie koła ze stałą prędkością 1 stopy na sekundę. Po upływie t sekund przebędzie on drogę i stóp i kąt AOP wyniesie t radianów. {Wyniki te są prawdziwe tytko wówczas, gdy kąt mierzymy w ra-dianach.)

Wiemy, że sin t mierzy wysokość punktu P ponad AOB po t sekundach. Wysokość tę oznaczamy krótko przez y stóp, a więc y = sin t. Wielkość cos t mierzy odległość, w jakiej punkt P leży na prawo od O po t sekundach. Odległość tę oznaczamy przez x stóp, a więc x = cos t. Jeżeli punkt P leży poniżej AOB, to, oczywiście, y będzie liczbą ujemną; x będzie ujemne, jeżeli punkt P leży na lewo od O. Na naszym rysunku x jest równe długości odcinka OQ, a y jest równe długości odcinka PQ.

Zwracamy uwagę, że te znaki, x i y, nie mają żadnego związku ze znakami x i y, jakich używaliśmy w innych rozdziałach. W rozdz. 10 np. x oznaczało liczbę sekund, jakie minęły, a w roz-

dy

działach 11 i 12 omawialiśmy wyrażenie ——

uX ₄

W tym miejscu na oznaczenie „liczby sekund” używamy litery t: x i y mają znaczenie nadane im w poprzednim akapicie.

także przez x' i y'. A więc, x oznacza prędkość, z jaką zmienia się długość OQ, a 2/' — prędkość, z jaką zmienia się długość PQ (jeżeli P leży poniżej AOB, to musimy przedłużyć do góry prostą wyznaczoną przez pion, aż do przecięcia się z AOB. Przecięcie to 'daje punkt Q). Wyjaśniliśmy już poprzednio dokładnie, co to jest prędkość i jak ją można mierzyć. Znaczenie symboli x' i y' powinno więc być jasne.

Prędkości, z jakimi zmieniają się x i y, wyno-dx dy

szą odpowiednio -j- i -— . Będziemy je oznaczali

Są cztery punkty -na okręgu, w których łatwo można zauważyć zachodzące zmiany. Są to: najwyższy punkt, C, najniższy punkt, D, oraz punkty A. i B. W punktach C i D tor punktu P jest poziomy, a w punktach A i B pionowy.

Ponieważ tor w punkcie C i D jest poziomy, więc wysokość punktu P przy mijaniu tych punktów nie może ani rosnąć, ani maleć. A ponieważ y' mierzy prędkość, z jaką zmienia się wysokość punktu P, więc y' musi być równe zeru, gdy P mija punkt C lub D. Łatwiej to stwierdzić, gdy zauważymy, że tuż przed osiągnięciem punktu C punkt P porusza się do góry (a więc y ma znak + ), a tuż po minięciu punktu C punkt P porusza się w dół (a więc y ma znak —). Właśnie w punkcie C następuje zmiana znaku y z + na —, a zatem tu y' musi być równe zeru. (Porównaj w rozdz. 11 stwierdzenia dotyczące y'.)

To sarno rozumowanie dowodzi, że x' = 0, gdy P znajduje się w punktach A lub B.

Jaka jest wartość x', gdy punkt P znajduje się w C? W punkcie C krzywa jest pozioma. Przez moment punkt P ani nie wznosi się, ani nie opada, ale przesuwa się na lewo z prędkością 1 stopy na sekundę. Inaczej mówiąc, w tym momencie x maleje w tempie 1 stopy na sekundę. A więc x' = — 1.

261