CCF20090120154

CCF20090120154



póki nie okaże się, że szereg 1 + 22— — 7—...

oraz szereg 3 + 6 + 1—...


zbiegają do stałych war


tości, gdy bierze się dostatecznie dużo wyrazów. Szeregi te będą także bezużyteczne, jeżeli okaże się, że są one „niebezpiecznymi szeregami” w rodzaju opisanych w rozdz. 14.

W rzeczywistości te dwa szeregi są bardzo „porządne” i godne zaufania. Dalsze wyrazy sze

24’ 120"


regu dla ex zawierają takie liczby, jak

'zrr, które szybko stają się bardzo małe; w pew-

i Z u

nym miejscu dalsze wyrazy praktycznie nie liczą się w porównaniu z sumą szeregu. Reguła, za pomocą której tworzy się liczby w szeregu dla exjest następująca: 6 — 1*2-3,24 = 1 • 2 • 3 • 4 itd. 120 jest równe 5 razy 24; 720 jest równe 6 razy 120. Im dalej posuwamy się, tym szybciej maleją wyrazy szeregu.

Można dowieść, że szereg dla ex jest „porządny” (w języku matematyków: jest zbieżny), bez względu na to, jakie jest x. A zatem jeżeli x = = a+ib, to nie ma znaczenia, jak wielkie są liczby a i b: szereg będzie zawsze zbieżny. Jeżeli a i b są liczbami dużymi, to musimy wziąć dużą liczbę wyrazów, zanim otrzymamy dobre przybliżenie dla ea+ib; a ponieważ -nasz szereg określa ex, więc mamy logiczną podstawę, na której opieramy się.

W rzeczywistości, aby znaleźć ea+ib, lepiej jest postąpić w sposób następujący: ea+ib — ea ■ elb = =e'a(cos b+i sin b). Operatory a i b odpowiadają zwykłym liczbom a i b. Wielkości ea, cos i sin b możemy znaleźć w tablicach. Ale to postępowanie jest możliwe dopiero po udowodnieniu (za pomocą szeregu dla ex), że ex ma wszystkie własności zwykłej funkcji ex, tak że przeprowadzone wyżej kolejne kroki są uzasadnione. Jeżeli nasza definicja operatora ex za pomocą szeregu nie jest niewzruszona, to nie możemy mieć zaufania do wyników z niej uzyskiwanych.

Matematycy zostali więc zmuszeni do badania zbieżności szeregów, w których występują liczby zespolone. Zajmowali się oni także tym, jady

kie znaczenie można nadać symbolowi ^, gdy x i y są liczbami zespolonymi.

Widzieliśmy już, że użycie symbolu i pozwala nam wykazać ścisły związek pomiędzy ex, sin i cos x; związek ten jest zaskakujący, gdyż na pierwszy rzut oka ex wydaje się bardzo różne od sin x i cos x. Widzieliśmy także, że ten związek ma praktyczne zastosowanie, gdyż pomaga nam zrozumieć rozwiązanie wielu zagadnień dotyczących sinusa i cosinusa.

Dalsze badania nad liczbami zespolonymi rzucają również światło na wiele zagadnień dotyczących zwykłych liczb. W istocie teoria liczb zespolonych jest jednym z najpiękniejszych i najbardziej pouczających działów matematyki. Zajmując się nią, mamy takie uczucie, jakby nas wzięto za kulisy: z łatwością i natychmiast możemy zrozumieć źródła wyników, które poprzednio wydawały 'się zupełnie przypadkowe. Jest to dziedzina, w której rachunek odgrywa małą rolę: uzyskiwane w niej wyniki przybierają często postać, którą można pojąć i zapamiętać, tak jak zapamiętuje się dobrze zrobiony plakat. Ponieważ przedmiot ten umożliwia nam ujrzenie głębszego sensu wielu zaigadnień praktycznych, ma on wielkie znaczenie dla matematyki stosowanej.

Nikt nie mógł przewidzieć, że badanie symbolu i doprowadzi do tak przydatnych rezultatów, podobnie jak pierwsi ludzie bawiący się magnesami i jedwabiem nie mogli przewidzieć

311


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
CCF20081221022 fcowe formy, okaże się, że wiara jest wytłumaczalna przyrodzonymi warunkami bytowani
str2 (46) Błąd względny wyznaczonego odcinka D wynosi Jeżeli wg warunków projektu okaże się, że je
skanowanie0006p Gdy dokładnie przyjrzymy się omówionym mechanizmom, wówczas okaże się, że również w
viewer16 reprezentują przynajmniej 62% łącznej liczby ludności Unii. Jeżeli okaże się, że warunek te
CCF20081129080 dostrzegają i którego zakresu nie umieją zmierzyć — wszystkie te formy i jednostki n
CCF20081202067 nik, który okaże się nosicielem lub chorym, musi być przeniesiom na stanowisko, gdzi
CCF20090225072 opadały zeń i zdawało się, że nie bolał nad tym wcale.” 1 W Procesie Kafka przeciwst
CCF20091013004 zycy nie mówią już, że materia „składa się" z ciał, które nazywane są atomami,
skanowanie0006p Gdy dokładnie przyjrzymy się omówionym mechanizmom, wówczas okaże się, że również w
35106 skanowanie0006p Gdy dokładnie przyjrzymy się omówionym mechanizmom, wówczas okaże się, że równ
CCF20090120141 się nad punktem (zaznaczonym liczbą 1 na skali x. Gdy model zostanie tak ustawiony,
DSC42 (8) •Tesli przyjrzymy sin historii, okaże się, że nie zavrl va. Podczas gdy w pewnych kultura
6.    W przypadku otwarcia przesyłki nie oznaczonej na zewnątrz okaże się, że zawiera
skanuj0032 (47) Jeśli dodatkowo funkcję Aa i Bx przekształcić do postaci: A3 =X+Z+Y Bj = X+Y+Z to ok
page0351 MOWA ALCYBIADESA. 349 nie spodziewa się, że dyskusya, która zdawała się być wyczerpana, zos
zresztą nie udało się uniknęć w szeregu powiatów na terenie kraju. Podobnie zresztą uzyskanie przez

więcej podobnych podstron