Cialkoskrypt5

48 1. Pojęcia podstawowe

<^(x + y)dx -2xdy = J(x + y)dx-2xdy +

L    OA

+ J (x + y)dx - 2xdy + J(x + y)dx - 2xdy.

BO

AB

Dla odcinka łączącego punkty A i B zmienna y opisana jest jako y = 1 - x :

10    2 ¹    o 4

(|(x + y)dx-2xdy = Jxdx+ J(x + (1 - x) + 2x)dx = — +(x + x²)| =—.

L    0    1    2 ₀    ^!    2

Korzystając ze wzoru Greena, całkę tę można wyliczyć jako

P(x,y) = x + y, Q(x,y) = -2x,

^2- —= -2-1 = 3,

3x 3y

a uwzględniwszy relację pomiędzy całką względem obwodu L a całką względem powierzchni D, otrzymamy:

cf P(x, y)dx + Q(x, y)dy =    - -|^-Jdxdy = jj(- 2 - l)dxdy =

1 l-x

= -3 Jdx J dy = -3 J(l-x)dx = ~3 x -

o o

ZADANIE 1.5.11

Rys. 1.22

Na podstawie twierdzenia Greena obliczyć całkę o postaci

C^/x²+y²dx + y xy + in|x + ^/x² +y² j dy,

przy czym krzywa L jest przedstawiona na rys. 1.22.

Rozwiązanie

Zgodnie z twierdzeniem Greena funkcje podcałkowe przyjmują postać:

i stąd

P(x, y) = tJx² + y²,Q(x, y) = y xy + ln(^x + ^/x² + y²

3P

ty /x² + y²

3Q 2 = y +

V^x2 + y²

Po podstawieniu otrzymamy:

ZADANIE 1.5.12

Korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego o zamianie całki względem powierzchni na całkę względem objętości, rozwiązać całkę w postaci:

s

dla elementarnego sześcianu o boku 1, wyznaczyć wartość tej całki. Rozwiązanie

Współrzędne powierzchni sześcianu zmieniają się w granicach:

0<x < 1, 0< y < 1, 0< z < 1.

Funkcje podcałkowe przyjmują postać:

P(x, y, z) = x, Q(x, y, z) = y, R(x, y, z) = z,

stąd

3P 9Q 3R

3x ’ 3y ' 3z

Na mocy twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego

+ Qdxdz+Rdxdy) = fflf—+ ^ + ^ dxdydz = "•\3x 3y oz

- jJJ(l +1 + l)dxdydz = 3 JJjdxdydz = 3.

3P 3Q 3R —+——

3x 3y 3z

V

v

ZADANIE 1.5.13

Obliczyć całkę powierzchniową