Cialkoskrypt0

58 2. Statyka płynów

= i

9y9z 9z9y

1_P _1_P

9x9z 9z3x

+ k

9x9y 9y9x

3 0.

Ponieważ nie znamy gęstości w powyższym równaniu, należy ją wyeliminować. Przyjmijmy, że (p jest różniczkowalną funkcją skalarną natomiast a wektorem. Wówczas

rot(cpa) =

”3(<paz) 9(<pay)'		p((pax) a(cpaz)l	~t	9(<pay) 9((paJ
9y 9z	i +	9z 3x	J +	9x 9y

k =

1 +

dtp 3a_z ćkp ^3ay ^

ły*^^-łz*y-^ęiK

+

^dcp

9a

3^^ay ^+(p'

9a_x 9(p

y 3'p

&^az ^

9a_z\

9x

J +

3x ay'^{ax (p}'

dy

k = (prota + gradcp x a.

Rozważmy iloczyn skalarny

F ■ rot(pF) = 0,

skąd na mocy powyższych rozważań otrzymujemy:

F ■ rot(pF) = pF • rotF + (gradp x f)- F,

gdzie wektor (gradp x p) jest prostopadły do F oraz grad p, co wynika z własności iloczynu wektorowego, stąd (gradp x f) • F = 0, i ostatecznie z warunku równowagi: rot(pF) = 0 otrzymujemy jego inną postać, zawierającą tylko wektor pola sił masowych F w postaci: F- rotF = 0. W szczególności dla płynu jednorodnego (p = - const) warunek ten przechodzi w postać rotF = 0.

2.3 Powierzchnie ekwipotencjalne

Właściwości powierzchni ekwipotencjalnych (stałych wartości potencjału) są następujące:

1. Gęstość płynu nie zmienia się wzdłuż powierzchni ekwipotencjalnej. Z warunku równowagi wynika, że

rot (pp) = rot(gradp) - 0 p • rotF + grad(p) x F = 0 . F -rotF = 0

Dla pola potencjalnego rotF - 0, gdyż F = VU, musi więc być spełniona zależność:

gradp xF = gradp x gradU = 0,

z której wynika, że wektor grad p jest normalny do powierzchni ekwipotencjal-nej.

2. Ciśnienie płynu nie zmienia się wzdłuż powierzchni ekwipotencjalnej, jest więc to zarazem powierzchnia izobaryczna. Właściwość ta wynika ze wzoru:

p • grad(U) = grad(p).

3.    Swobodna powierzchnia cieczy jest powierzchnią ekwipotencjalną. Właściwość ta jest wnioskiem z punktu poprzedniego, gdyż powierzchnia swobodna jest izobaryczna, panuje bowiem wzdłuż niej stałe ciśnienie znajdującego się nad nią płynu. Jest to zatem, na mocy wcześniejszego wniosku, powierzchnia ekwi-potencjalna..

4.    Powierzchnia rozdziału dwu cieczy o różnej gęstości i niemieszających się ze sobą jest powierzchnią ekwipotencjalną. W każdym punkcie rozdziału muszą być spełnione dwa równania wynikające z warunku równowagi:

p,F_s -grad_sp = 0 p₂F_s ~ grad_sp - 0 ’

gdzie s oznacza składową odpowiedniego wektora styczną do powierzchni rozdziału. Po odjęciu stronami otrzymamy:

(Pt-P2)^pa ⁼⁰ => ^Fs⁼⁰ P^rzy Pi*P₂>

przy czym F_s = 0 oznacza, że powierzchnia rozdziału jest ortogonalna do wektora pola, a więc jest to powierzchnia ekwipotencjalną.

Aby wyznaczyć powierzchnię ekwipotencjalną, szukamy U(x, y, z) = const (dU = 0), jeśli zadane jest pole potencjalne F(x, y, z). Mając dwukrotnie różnicz-kowalne w sposób ciągły składowe pola F_x(x, y, z), F_y(x, y, z), F_z(x, y, z), sprawdzamy warunki całkow^ralności:

3y dx ’ dz