Cialkoskrypt7

72 2. Statyka płynów

ZADANIE 2.6.4

Dane są pola jednostkowej siły masowej: 1. F = yz²T + (y²z-xz²) j-y³k,

2. F =

^x i, y 7

2 2 x +y

2 2

x +y

Sprawdzić, czy płyn nieściśliwy znajdujący się pod działaniem pola jednostkowej siły masowej będzie w równowadze. Gęstość płynu nieściśliwego nie zależy od ciśnienia, p¹p(P), lecz może zależeć od położenia, więc P = p(x, y,z).

Rozwiązanie

Ad 1. Składowe wektora siły masowej są następujące:

F_x = yz²; F_y = y²z - xz²; F_z = -y³.

Składowe wektora rotacji mają postać:

- dF    dF    dF    dF    ₀

rot_xF = —^---—^ =-4y² +2xz, rot F = —^--~- = 2yz,

dy    dz    dz    dx

- dF dF ₂

rot_zF = —^---- = -2z .

dx dy

Zatem

3^2

.2,,3

F-rotF = -4y³z² +2xyz'⁵ +2y^,3z^z -2xyz^J> + 2zⁱyⁱ =0,

Płyn niejednorodny będzie więc w stanie równowagi.

Ad 2. Składowe wektora siły masowej są następujące:

F_v =■

F =■

* v

x⁴ + y‘

F, = 0.

x + y

Składowe wektora rotacji mają postać:

- dF dF    - dF dF    - dF dF

rot_xF = —-S---—^- = 0, rot F = —Z-- —Z- = 0, rot_zF = —iL_££l ₌ o.

dy dz    ^y dz dx    ^z dx dy

Ponieważ rotF = 0, więc płyn znajdujący się pod działaniem tego pola jest płynem jednorodnym.

ZADANIE 2.6.5

Pola jednostkowej siły masowej dane są za pomocą składowych:

1.    F_f =krⁿ’¹sinnł>; F_d =krⁿ'¹cosnft; F_z=0, n > 0;

2.    F_x =3ax²; F_y=-6ay; F_z=0.

Napisać równania rodziny linii ekwipotencjalnych i równania rodziny linii sił.

Rozwiązanie

Równanie równowagi względnej ma postać:

F_x dx + F_y dy + F_z dz = —

lub we współrzędnych cylindrycznych:

gdzie rdfł jest elementarnym przyrostem długości w kierunku kąta d.

Dla ciśnienia p = const => dp = 0, więc równanie powierzchni stałych ciśnień jest następujące:

F_xdx + F_y dy + F_z dz = 0, lub F_rdr + F_drd-d+ F_zdz = 0.

Ad ł. Składowe siły masowej w kierunkach r, -& i z są następujące:

F_r = kr^n_1 sin nd, F₆ = kr""‘ cosn$, F_z =0.

Wobec tego równanie rodziny Unii ekwipotencjalnych (stałego ciśnienia) ma postać:

kr^11-' sin nfldr + kr^{n 1} cos n$rd$ = 0

albo

sin n-frdr + r • cos nftdf) = 0.

Stąd mamy:

n-ft^k-rc, k = 0,1,2,...

1    _cosn#

-dr = -dfł-,

r    sin nd

Po scałkowaniu otrzymujemy

a po dalszym przekształceniu

inr¹¹ =ln--- stad rⁿ =——

Zatem poszukiwana postać linii ekwipotencjalnych (stałego ciśnienia) jest następująca: