Cialkoskrypt 4

186 3. Kinematyka płynu

3.    linię prądu przechodzącą przez punkt x=1,y = 0w chwili t = 0,

4.    tor elementu płynu przechodzący w danej chwili przez tenże punkt.

Rozwiązanie

Ad 1. Równanie rodziny linii prądu

—- —, więc •——— = ————    lub (ax + bt)dx +(ay + bt)dy = 0.

v_x v_y    ay + bt ax + bt

Stąd po scałkowaniu otrzymujemy:

(ax + bt)² + (ay + bt)² = C(t) lub v² + v² = C(t) • a² lub

(^x+v) ⁺(^y+v)^=c(t)=r2(,)-

gdzie t jest parametrem. Powyższe równanie jest równaniem okręgu o promieniu r(t) = -y C(t) i środku w ruchomym punkcie. Wiemy, że y² + v² = const(t) na

okręgu, którego środek (x₀,y₀) leży w ruchomym punkcie (—bt/a, -bt/a).

Weźmy r² = C = const - promień nie zależy od czasu. Wówczas rodzina linii prądu charakteryzuje się podrodziną okręgów o ruchomym środku. Podrodzina ta ma obwiednię, a wówczas równanie rodziny linii prądu możemy napisać w postaci:

F = (x, y, t, C) = (ax + bt)² + (ay + bt) - C • a².

Równanie linii stycznej (obwiedni - definicja obwiedni, p. 3.1) do rodziny linii prądu F(x,y,t,C) = 0 ma postać (parametrem jest czas t):

'^T“ł

F(x,y,t,C) = 0 i — = 0.

ot

Drugie równanie dF/dt = 0 pozwala na wyznaczenie parametru t w zależności od pozostałych wielkości i po podstawieniu do F(x,y,t,C) = 0 na wyeliminowanie go. Po zróżniczkowaniu funkcji F względem t otrzymamy:

.    _N ci

t = -(x + y)—, 2 -b

ax + bt + ay + bt = 0, stąd

a po podstawieniu do wyrażenia na t równania F(x, y, t,C) = 0 otrzymujemy:

(y-x)

2<^X-^y>

= C • a²,

przeto po spierwiastkowaniu mamy:

x - y = ±J2C lub    y ~ x ± -J2C .

Jest to prosta będąca obwiednią rodziny okręgów o promieniu -Je i o środku położonym w ruchomym punkcie (x₀,y₀) = (-bt/a,-bt/a). Rodzinę linii prądu i

ich obwiednie pokazano na rys. 3.11.

Ad 2. Równanie torów otrzymamy z równania:

—^_=dt,

v_x(x,y,t) v_y(x,y,t)

stąd

dx    dy dt

ay + bt ax + bt 1

lub

dx , vv = — = ay + bt ^x dt	(a)
vv = —= -(ax + bt) ^y dt	(b)

Zróżniczkujemy pierwsze równanie układu względem t:

- a— + b = af-(ax + bt)) + b = -ax² + b(l - at). dt² dt    ^V    ;

Po podstawieniu w miejsce dy/dt prawej strony równania (b) mamy: