DSCN0475

ZADANIA Z ANALIZY II - Równania różniczkowe zwyczajne

1.    Sprawdzić, czy funkcja y = y(x) spełnia dane równanie różniczkowe

a. y = x²e^x, y" — 2y' + y = 0 b y = 3 sin*-4 cos*, y"+y = 0 c. y = Ci + C₂<r* + Cje*, y'" -y' = 0

2.    Wykazać, że dana funkcja y(*) jest całką szczególną danego równania różniczkowego

zy +y = cos*

a. y

b. y = jt|*zy'=y + *sin*

3.    Wykazać,że dana rodzina funkcji stanowi całkę ogólną danego równania różniczkowego:

^a- y = 1^7. y+yctg* = o

b. = Cie~^x + Cixe~^x, y" + 2/’ +>» = 0.

4.    Wyznaczyć równanie różniczkowe danej rodziny krzywych

cos tp

C. y = Cie²* + C2e*

5. Rozwiązać następujące równania różniczkowe: a. y' = 2-j- (narysować krzywe całkowe),

b V =    '

c.    y' = e^x*\

d.    e->{ 1 +y') = 1,

⁶ ^ = ufe*

f y =

l-lr^4v»

h. y =

5-3i>y »

i.    y¹ = t + Jx² +y² ,

j.    y =

k.    £-* + **;

I- y-* + -^ry (ę> - dowolna funkcja klasy C¹)

6,    Narysować krzywe całkowe równania y' =    Wyznaczyć krzywą całkową

przechodzącą pr/• -

punktP(l,2).

7.    Rozwiązać zagadnienia Cauchy ego:

a y = -£rł. k(0) = 1, ^b k' = yy. y(0) = o,

c.    y(lny - ln*V£c - xdy = 0, y(l) = 1,

d.    y - 4^. k(D = -l,

vⁱ+ixy-x^l ^