DSC07320

DSC07320



62    Macierze i wyznaczniki

"1

[-J _;] [-* -;]=[i i] =*. ■

Na podstawie zauważonych prawidłowości w macierzy An dla n = 1.2,3,4,5 wysuwaj hipotezę o postaci tej macierzy

A' =

dla

n = 4Jb + 1,

[10:

dla

n = 4k +2,

a

dla

n = 4k+3,

[::]

dla

n = 4k+4.


gdzie k = 0,1,2,3,... .

Przeprowadzimy teraz dowód tej hipotezy dla n = 4k + 1 za pomocą indukcji matem*-tycznej. Udowodnimy więc wzór

dla k = 0. 1.2_____ Dla k = 0 i Jfc = l wzór jest prawdziwy. Niech k będzie dowolną liczbą!

naturalną. Załóżmy, że wzór jest prawdziwy dla k. Pokażemy, że jest on prawdziwy takie dla kr L Mamy

^WM = <ł4*r«.A4


saJofenitt

bdikcyjse


_ f i ii [i o] _ £ i

~ [o -ij [0 1 ” [o -i •


Zatem z prawdziwości hipotezy dla k wynika jego prawdziwość dla k + 1. Ponadto wzór je* prawdziwy dla kg 1, więc z zasady indukcji matematycznej wynika, że jest on prawdziwy dla każdej liczby naturalnej oraz dla k = 0.

Uwaga*. W»ór ogólny na n-tą potęgę macierzy A ma postać

mi 1


t-l)


*(f)


i=r*~ -Ti

J L o (-i)- '


ędzae Eu, oznacza część caikowią liczby u. b) Mamy

A1 = A


A? * A- A


[10 11 ri 0 11    [2 0 2‘

0 10 0 10 = 0 10

i o iJ L» o ij La o 2.

Przykłady

63


A* = A- A2 =

A* = A2-A* =


Na podstawie obserwacji macierzy .4" dla n = 1,2,3,4 wysuwamy hipotezę, że

r 2—1 0 2n_1 i An = I 0 l 0

L 2H-‘ o r1 J

Przeprowadzimy dowód tej hipotezy za pomocą indukcji matematycznej. Dla n = 1 hipoteza ta jest prawdziwa. Niech teraz n będzie dowolną liczbą naturalną. Załóżmy, że hipoteza jest prawdziwa dla liczby n. Pokażemy, że jest ona prawdziwa dla liczby n +1. Mamy

’2n~l 0 2n_l'

1 0 n

’2n 0 2"'

«n+l _ a fi _ Ą nałożeni* _

0 1, 0

0 10

c

o

‘ indukcyjne

2>>-i o o"-1

.1 0 1.

2“ 0 2".

Zatem z prawdziwości hipotezy dla liczby naturalnej n wynika, jej prawdziwość dla liczby n+1. Ponieważ hipoteza jest prawdziwa dla n = 1, więc z zasady indukcji matematycznej wynika, że jest ona prawdziwa dla każdej liczby naturalnej.

• Przykład 3.5

Rozwiązanie a) Niech X —


f a 6 [cd


, gdzie a, 6, c, d € C, będzie szukaną macierzą- Wtedy


X2


a b e d


a b c d


a2 + bc ab + bd oe+ed bc+d2


Układając odpowiednie układy równań znaleźć wszystkie macierze zespolone X spełniające podane równania macierzowe:

a) X* =

r 1 0

112

1 jf 2

1 0

[o 0

b) X

0 1 1

3 5 8

; c)x2 =

0 1

Równanie X2


jest zatem równoważne układowi równań

a2 + bc =1, b(a + d) = 0. c(a + d) = 06c + rf* = 0.

Z drugiego równania wynika alternatywa warunków b = 0 lub a + d = 0. Rozważmy zatem pierwszą możliwość A = 0. Wtedy pierwsze równanie przyjmuje postać a2 = I, a czwarte d2 = 0. Stąd a = l lub a = -1 oraz <f = 0. Ponieważ a + d = ±i j£ o, więc z trzeciego


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Macierze i wyznaczniki3 68 Macierze i wyznaczniki Na podstawie obserwacji macierzy An dla n = 1,2,3
MATEMATYKA 3. MACIERZE I WYZNACZNIKI Rozwiązanie 3.5 Poszukiwaną wartość możemy wyznaczyć na podstaw
Macierze i wyznaczniki3 68Macierze i wyznaczniki Na podstawie obserwacji macierzy An dian = 1,2,3,4
Image347 Funkcje przełączające, wyznaczone na podstawie tablicy wartości /-tego stopnia rozpatrywane
img192 192 punktów wyznaczamy na podstawie przecięć kierunków wykreślotych na stoliku lut za pomocą
skanuj0015 (62) Zadanie 29. Na podstawie otrzymanych charakterystyk Weil, który regulator był badany
Kolendowicz7 WIEL0B0K SIŁ ,1kN i 4. Obciążenie obliczeniowe od parcia wiatru dla strefy I wyznaczon
Dziawgo; Działania na macierzach, podstawpwe typy macierzy 4 56 Działania na macierzach, podstawowe
ECTS - INFORMACJE OGÓLNE: WPROWADZENIE DO ECTS wydziału macierzystego, ustala na podstawie pakietu
11206080U9981464142424u75657746940005103 n POZYCJA ZMIERZONA może być wyznaczona na podstawę ® pomia
SYGNAŁ SINUSOIDALNY Tabela 1. Wartości amplitudy i okresu wyznaczone na podstawie podziałki oscylosk
łn wartość wyznaczana na podstawie rozkładu t-Studenta o n-1 stopniach swobody : parametr ten wyznac

więcej podobnych podstron