DSC07342

102

Układy równań liniowych

Rozwiązaniem tego układu równań są liczby x = 0, y = I, z — 0, a = 1, i = 0.

Metody rozwiązywania dowolnych układów równań

Przykład 4.15

Stosując metodę eliminacji Gaussa rozwiązać podane układy równań: ( 2x + y — z + t = i    ( x + 2y — z — t

a) < y + 3z - 3t = 1 b) l x+ y + z -ł- 3t = 2 ;

I i +    z-— i = I    I 3x + 5i/ - 2 -ł- t = 3

c)

2z -f y + 2 = 1 3z - y + 3z = 2 x + y + r=0 x-y+ 2=1

d*)

x + 2y -ł- 32 3x *1- 6y -I- 5z 2x + 4y + 2z 2x + 4 y + 7 2 x + 2y -I- 62

21 -1	u =	6
2 i -g	9 u =	1
	8u =	-5
51 +	u =	17
51 -	lOu =	12

Rozwiązanie

Rozwiązywanie dowolnego liniowego układu równań postaci AX = B metodą eliminacji Gaussa polega na przekształcaniu macierzy rozszerzonej |>l|£ł] tego układu. Celem postępowania jest doprowadzenie macierzy [/ł|Z?| do macierzy ^A \B j opisującej układ

równoważny wyjściowemu i jednocześnie zawierający w lewym górnym rogu macierzy A macierz jednostkową, a pod nią jeszcze jeden wiersz złożony z samych zer. Wówczas, zgodnie z twierdzeniem, możliwe będą trzy sytuacje:

1.    układ będzie sprzeczny, jeżeli element kolumny B wyrazów wolnych odpowiadający wierszowi zerowemu macierzy A będzie różny od zera,

2.    układ będzie miał tylko jedno rozwiązanie (i będzie równoważny układowi Gram era), jeżeli poza macierzą jednostkową w macierzy A nic pozostanie żadna inna kolumna,

3.    układ będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań, jeżeli poza macierzą jednostkową w macierzy A pozostanie choć jedna kolumna. Liczba tych dodatkowych kolumn będzie wówczas liczbą parametrów określających rozwiązanie układu.

Nasze przykłady rozwiązywać będziemy w oparciu o algorytm Gaussa, ale zmodyfikowany, bo wykraczający poza układy Cramera. Będziemy wykonywać następujące operacje na wierszach macierzy rozszerzonej:

•    zamiana między sobą i-tego i j-tego wiersza (oznaczenie ti/*

•    mnożenie i-tego wiersza przez stalą c różną od zera (oznaczenie cwi),

•    dodanie do i-tego wiersza j-lego wiersza pomnożonego przez stalą c (oznaczenie wi +

które wystarczały dla układów Cramera oraz dodatkowo:

•    skreślenie i-tego wiersza złożonego z samych zer (oznaczenie i\*, = 0),

•    skreślenie i-tego wiersza równego j-temu wierszowi (oznaczenie tty = Wj)_%

•    skreślenie i-tego wiersza, który jest proporcjonalny do j-tego wiersza (oznaczenie

Potrzebna tu jeszcze będzie operacja przestawiania j-tej kolumny na koniec nie-

przykłady

103

wiadomych (oznaczenie kj '—•) ^z jednoczesnym przemianowaniem oznaczeń niewiadomych.

_a) Przekształcamy macierz rozszerzoną układu równań otrzymując

2	1	-l	l	r	n	1	1	—1	1*
0	1	3	-3	i	—wj 1 0	1	3	-3	1
i	1	1	-1	i	L2	1	-1	1	1 .

ri i i -i ii

—* I 0 1 3 — 3| 1 I «ks "V] |_0 -1 -3    31 —1J

1 l -lll 1		1 0	-2	2	0
l 3 —311 J	M»| — UJ —•	0 1	3	-3	1

Dany układ jest więc równoważny układowi

f x - 2z + 2Ł = 0 \ y -ł- % - 3t = 1

Układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań z dwoma parametrami. Przyjmując niewiadome sit za parametry otrzymujemy rozwiązanie tego układu

f x = 2z-2t \ y = 1 - 3s + 3t,

gdzie s, i € R.

b) Postępując podobnie otrzymujemy kolejne równoważne postaci macierzy rozszerzonej

n	2 -1	-1	l		1	2	-1	-l	l
^1	1 1	3	2	wj — u* i _p WJ -	0	-1	2	4	i
L 3	5 -1	1	3 J		Lo	-1	2	4	oj
					1	2	-1	-1	i
				—♦	0	-1	2	4	i
					lo	6	0	6	-i

Ostatni wiersz uzyskanej macierzy wskazuje na sprzeczność danego układu równań. 'VI* dać to wyraźnie po rozpisaniu układu w formie rozwiniętej.

f .sc + 2y — s - t = l <    - y + 2s + 4Ł = 1 .

I Mj 0 * -1

c) Macierz rozszerzona [A\B\ danego układu równań po przestawieniu jego wierszy wj «—»1U4 przyjmie postać

’ i	1	1	0 '
i -	1	1	1
2	1	1	l
3 -	1	3	2 .